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Inverse Probleme (Winter 2010)
Kurzbeschreibung
Ist es möglich durch die Beobachtung der Temperatur des Mantels eines Hochofens zu bestimmten ob der Mantel noch intakt ist? Wo müssen an einem Fräskopf Unwuchten angebraucht werden, damit die Fräse die gewünschte Oberflächeform zerspant? Wie funktioniert eigentlich Computertomographie… und warum? Warum ist es sehr einfach ein digitales Bild weichzuzeichnen und zu verrauschen, aber sehr schwierig aus einer verzerrten Version eines Bildes wieder die ursprüngliche, scharfe Version zu bestimmten?
Alle diese Fragen gehören zum Gebiet der inversen Probleme. Allgemein versucht man bei inversen Problemen aus der Beobachtung eines Systems auf dessen Eigenschaften zu schließen. Deswegen tauchen inverse Probleme oft bei der Modellierung von technischen, physikalischen, chemischen, biologischen, meteorologischen, ökonomischen und sozialen Prozessen auf und sind deshalb aus der modernen, angewandten Mathematik nicht mehr wegzudenken.
Mathematisch lassen sich inverse Probleme oft als Inversion eines Operators beschreiben. Sie sind schwierig zu lösen, wenn nur ungenaue Daten vorliegen, wenn die Inverse des Operators nicht wohldefiniert ist (weil der Operator nicht injektiv oder surjektiv) oder wenn die Inverse nicht stetig ist. Genau mit solchen schwierigen Fällen werden wir uns in der Vorlesung beschäftigen. Dabei kommen hauptsächlich Methoden aus der angewandten Funktionalanalysis zum Einsatz.
In der ersten Hälfte der Vorlesung beschäftigen wir uns mit der klassischen Theorie der inversen Probleme. In der zweiten Hälfte gehen wir auf einige Anwendungen der Theorie in Tomographie und Bildverarbeitung ein.
Literatur
- Rieder
Keine Probleme mit Inversen Problemen - Hanke, Engl, Neubauer
Regularization of Inverse Problems - Louis
Inverse und schlecht gestellte Probleme
Übungsblätter
Blatt 1 | Differentiation, Radon-Transformation, Differentialquotient |
Blatt 2 | Spektrum, SVD, kompakte Operatoren, Programmierung: Integraloperator, SVD, Radon-Transformation |
Blatt 3 | Abgeschlossenheit, Orthogonalprojektion, Pseudoinverse in Theorie und Praxis, Programmierung Integraloperator, Faltungsoperator |
Blatt 4 | TSVD, Interpolationsungleichung, Funktionalkalül, Programmieren: Diskrete Faltung |
Blatt 5 | Tikhonov-Regularisierung, Konvexität, Programmieren: Tikhonov-Regularisierung für den Integraloperator |
Blatt 6 | Landweber-Filter (Regularisierung und Qualifikation), Monotonie der Landweber-Iteration, Nichtlinearität von cg, Programmieren: Entfalten |
Blatt 7 | Morozov |
Blatt 8 | Einbettungen, Projektionen |
Blatt 9 | Projektionsmethoden |
Blatt 10 | Riesz-Basen, Frames, Schauder-Basen, FBI, RIP |
Blatt 11 | Satz von Asplund, Dualitätsabblidung |
Blatt 12 | Projekt: Massenspektrographie |