5.7 Die Multigridmethode

Es existiere eine Folge von regulären (FE-) Netzen $\mathfrak{T} _k$ ( $k=\overline{1,\ell} \makebox[0pt]{}$), wobei das feinere Netz/Gitter  $\mathfrak{T} _{k+1}$ aus dem gröberen  $\mathfrak{T} _k$ hervorgegangen ist (einfachster Fall: Viertelung aller Dreiecke in 2D). Für diese Gitterhierarchie soll $\mathfrak{T} _{1} \subset \mathfrak{T} _{2} \subset \cdots \subset \mathfrak{T} _{\ell}$ gelten.

Die gegebene Differentialgleichung wird auf jedem Gitter  $\mathfrak{T} _k$ diskretisiert so daß einen Folge von Gleichungssystemen

$$K_k \cdot \underline{u}_k \;=\; \underline{f}_k$$ (5.9)

mit den jeweiligen dünnbesetzten, symmetrischen und positiv definiten Steifigkeitsmatrizen $K_k$ entsteht.

Eine Analyse des (nichtoptimalen) Konvergenzverhaltens der Iterationsverfahren in den Abschnitten 5.3 und 5.4 mittels einer Zerlegung des Fehlers in die Eigenfrequenzen der Matrix $K$ liefert :

  $\mbox{$\bullet$}$

Die Fehleranteile mit hohen Frequenzen werden sehr schnell reduziert.

  $\mbox{$\bullet$}$

Die niedrigfrequenten Fehleranteile bestimmen das langsame Konvergenzverhalten der gängigen Verfahren.

$\Longrightarrow$

Man braucht ein Verfahren, welches die niedrigfrequenten Fehleranteile  $e_{\mathrm{low}}$ kostengünstig reduziert, bei Beibehaltung der schnellen Reduktion hochfrequenter Fehleranteile  $e_{\mathrm{high}}$.

$\Longrightarrow$

Zweigitteridee :

Reduziere  $e_{\mathrm{high}}$ auf dem Gitter  $\mathfrak{T} _{\ell}$ (Glättungsschritt) projiziere den Restfehler auf das gröbere Gitter  $\mathfrak{T} _{\ell-1}$, löse dort exakt, interpoliere die erhaltene Korrektur (Defektkorrektur) wieder auf das Feingitter  $\mathfrak{T} _{\ell}$ und addiere sie zur bereits erhaltenen Lösung. Oft werden hinterher die verbliebenen hochfrequenten Fehleranteile nochmals geglättet.

  $\mbox{$\bullet$}$

Die Multigrididee ersetzt nun den exakten Löser bei der Defektkorrektur wiederum durch eine Zweigitteridee auf dem Gitter $\ell-1$ bis hinunter zum gröbsten Gitter  $\mathfrak{T} _{1}$, welches exakt gelöst wird.