5.7.1 Der serielle Algorithmus

Zur Formulierung des Multigridalgorithmus benötigen wir die folgenden zusätzlichen Matrizen und Vektoren :

$I_{k}^{k-1}$

Restriktionsoperator um Daten vom feinen auf das grobe Gitter zu transferieren.

$I_{k-1}^{k}$

Interpolationsoperator um Daten vom groben auf das feine Gitter zu transferieren.

$S_{_{\mathrm{pre}}}^{\nu_{\mathrm{pre}}}$

Vorglättungsoperator zur Reduktion von  $e_{\mathrm{high}}$, $\nu_{\mathrm{pre}}$-mal angewandt.

$S_{_{\mathrm{post}}}^{\nu_{\mathrm{post}}}$

Nachglättungsoperator zur Reduktion von  $e_{\mathrm{high}}$, $\nu_{\mathrm{post}}$-mal angewandt.

$\underline{d}_{k}$

Defekt auf $k$-tem Gitter.

$\underline{w}_{k}$

Korrektur auf $k$-tem Gitter.

$\text{{\sc mgm}}^\gamma$

Rekursive Multigridprozedur, $\gamma$-mal aufgerufen ($\gamma=1$ - V-Zyklus, $\gamma=2$ - W-Zyklus)

Als Vor- bzw. Nachglättungsoperatoren können z.B. die Iterationsverfahren aus 5.3 - 5.5 gewählt werden.
 
Falls Multigrid als Vorkonditionierer im CG verwandt werden soll, muß der entsprechende Multigriditerationsoperator symmetrisch sein. In diesem Falle werden Interpolation und Restriktion, sowie Vor- und Nachglättung so gewählt, daß $I_{k}^{k-1} = \left(I_{k-1}^{k}\right)^T$ und $S_{_{\mathrm{pre}}}= \left(S_{_{\mathrm{post}}}\right)^T$ mit $\nu_{\mathrm{pre}} = \nu_{\mathrm{post}}$ gelten. Das Defektsystem auf dem gröbsten Gitter wird direkt gelöst.