5.7.2.1 Die Interpolation

Betrachtet man Abb. 5.6 und die entsprechende, aus der Netzverfeinerung hervorgehende Interpolation, so ist für die 3 Knotenklassen $V,E,I$ folgendes erkennbar :

1.

Die Interpolation  $I_{V,k-1}^{k}$ innerhalb der Crosspoints ist die (evtl. skalierte) Identität $I\enspace$.

2.

Crosspoints ($V$) gehören vollständig zum gröbsten Gitter und werden somit nie durch $E$ oder $I$ interpoliert
$\Longrightarrow$ $I_{VE,k-1}^{k} = I_{VI,k-1}^{k} = 0 \enspace$.

3.

Die Interpolationmatrix auf den Kanten zerfällt in Blöcke
$\Longrightarrow$ $I_{E,k-1}^{k} = \textrm{blockdiag}\{I_{E_j,k-1}^{k}\}_{i=\overline{1,\textrm{NumEdges}} \makebox[0pt]{}} \enspace$.

4.

Kantenknoten werden nie durch innere Knoten interpoliert
$\Longrightarrow$ $I_{EI,k-1}^{k} = 0 \enspace$.

5.

Offensichtlich zerfällt auch die Interpolationmatrix auf den inneren Knoten ($I$) in Blöcke
$\Longrightarrow$ $I_{I,k-1}^{k} = \textrm{blockdiag}\{I_{I_s,k-1}^{k}\}_{s=\overline{1,P} \makebox[0pt]{}} \enspace$.

Somit besitzt die Interpolationsmatrix  $I_{k-1}^{k}$ eine Blockstruktur, in welcher nur das untere Blockdreieck ungleich $0$ ist. Die Blockstruktur ist insbesondere so geartet, daß (4.9) anwendbar wird.

$\Longrightarrow$

Interpolation ist akkumuliert : ${\ensuremath{\color{red} \mathfrak{I} } }_{k-1}^{k}$ .

$\Longrightarrow$

Vektor  $\underline{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{w} } }}_{k-1}$ ist akkumuliert.

Man hätte die Interpolationsmatrix prinzipiell auch vom verteilten Typ wählen können, hätte sich dann aber in der Interpolation bzw. in der nachfolgenden Addition eine Kommunikation bei der erforderlichen Typumwandlung eingehandelt.

Keine Kommunikation in der Interpolation !