7.3.2 Die serielle Auflösung

Zur Auflösung beschreibt man (7.22) als Summe von Gleichungen der Konvektion und solchen Gleichungen welche die viskosen Eigenschaften beinhalten und betrachtet diese beiden Systeme zunächst getrennt.   $$\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \partial_t \begin{pmatrix}\varrho \\ \varrho u... ...k\partial_y\Theta} \end{pmatrix} &=& 0 \hspace{2em}\hspace{2em} \end{eqnarray}$$

Die Gleichungen (7.23) sind mit den Euler-Gleichungen aus Abschnitt 7.2 (bis auf den Faktor $\tfrac{1}{2}$) identisch und wurden dort bereits behandelt. Die Diskretisierung erfolgte örtlich über die FVM und zeitlich explizit. Der Auflösungsschritt in jedem Zeitschritt wurde in Algorithmus 7.8 dargestellt und resultiert in einer im $j$-ten Volumenelement konstanten diskreten Lösung $U_j^{K+1/2}$ im $K+1$-ten Zeitschritt.

Die Gleichungen (7.24) beschreiben zeitliche Spannungszustände des Fluids und beinhalten 2.Ableitungen der gesuchten Größen. Aus diesem Grunde wird die örtliche Diskretisierung dieser Gleichungen über FEM realisiert. Bei Verwendung linearer Ansatzfunktionen ergibt sich damit die stückweise lineare Lösungsfunktion $u_h^{K+1}$ im $K+1$-ten Zeitschritt.

  

Abbildung 7.5: Duale Vernetzung

Zur Koppelung der diskretisierten Gleichungen (7.23) und (7.24) ist eine duale Vernetzung des Gebietes mit finiten Volumen und finiten Elementen ( ${\cal T}_h$) notwendig. Eine mögliche Vernetzung [FFLMW97,FFLM97,FFLMW97] ist in Abbildung 7.5 gegeben.

Mit den Testfunktionen (Dreiecksvernetzung) $\varphi \in \ensuremath{\mathbb{V} } _h\,:\, \Omega \mapsto \ensuremath{\mathbb{R} } ^4$ und den Definitionen

mit $g$ aus (7.18) ergeben sich für die diskrete Auflösung des gekoppelten Systems (7.23) und (7.24) in jedem Zeitschritt die folgenden 3 Ansätze :

1.

Inviscid (7.23) - viscous (7.24) operator splitting

$$\boxed{ \begin{split} U_j^{K+1/2} &\;:=\; U_j^{K} - \fra... ...ace{2em}\hspace{2em}\hspace{1em}\;\; \forall P_i \end{split}}$$ (7.20)

Drückt man die 4 Komponenten von $u_h$ und $\varphi$ durch die FE-Basisfunktionen $\psi_i$ aus, d.h.,

so stellt sich die 3.Zeile in (7.25) als Gleichungssystem

$$M \cdot \underline{u}^{K+1} \;=\; M \cdot \underline{u}^{K+1/2} - \tau A\cdot \underline{u}^{K+1/2}$$ (7.21)

dar, mit $A$ als Elastizitätsmatrix und $M$ als der Massenmatrix. Bei entsprechender Wahl der Basisfunktionen bzw. der Integrationsregel wie oben (entspricht dem Lumping) ist $M$ eine Diagonalmatrix und somit leicht zu invertieren.
Üblicherweise gilt $\psi_i(P_j)=\delta_{ij}$, so daß die Interpolationsforderungen der 2. und 4.Zeile automatisch erfüllt sind.

2.

Explizites Schema

Unter Nutzung der Bilinearform $b_h$ wird ein Zeitschritt in (7.23) als

$$(u_h^{K+1/2},\varphi)_h \;=\; (u_h^{K},\varphi)_h - \tau\cdot b_h(u_h^{K},\varphi)_h$$

ausgedrückt und somit läßt sich (7.22) in einer diskreten Gleichung schreiben :

$$(u_h^{K+1},\varphi)_h \;=\; (u_h^{K},\varphi)_h - \tau\cdot ... ...{2em}\forall \varphi\in\ensuremath{\mathbb{V} } _h \enspace.$$

Mit $B$ als der Matrix der Bilinearform $b_h$ ist somit das GlS

$$M \cdot \underline{u}^{K+1} \;=\; M \cdot \underline{u}^{K} - \tau (B+A)\cdot\underline{u}^{K}$$ (7.22)

zu lösen.

3.

Semi-implizites Schema

Im Unterschied zum expliziten Schema wird hier in der Bilinearform $a_h$ die aktuelle Lösung $u_h^{K+1}$ eingesetzt.

$$(u_h^{K+1},\varphi)_h \;=\; (u_h^{K},\varphi)_h - \tau\cdot ... ...{2em}\forall \varphi\in\ensuremath{\mathbb{V} } _h \enspace.$$

Das resultierende GlS

$$(M+\tau A) \cdot \underline{u}^{K+1} \;=\; M \cdot \underline{u}^{K} - \tau B\cdot\underline{u}^{K}$$ (7.23)

ist relativ aufwendig aufzulösen, da wegen der Besetztheitsstruktur von $A$ die Matrix $M+\tau A$ keinesfalls eine Diagonalmatrix ist. Der Nutzen des Semi-impliziten Schemas besteht in der größer wählbaren Zeitschrittweite $\tau$. Hat man schnelle iterative Löser zur Verfügung (Eigenschaften von $M+\tau A$ beachten !) bzw. zeitlich konstante Matrizen $A$ und $M$ (einmalige Faktorisierung), dann resultiert dieses Schema in einer kürzeren Rechenzeit im Vergleich zum rein impliziten Schema.

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