7.2.2 Die serielle Auflösung

• Zeitdiskretisierung über ein explizites 2-schichtiges Differenzenschema, mit $\vec{u}^K := \vec{u}(t_K)$ und $\tau=t_{K+1}-t_K$ führt auf :
  

  $$\boxed{ \begin{split} & \vec{u}^0 \hspace{2em}\text{aus A... ...}\forall K=0,1,\ldots \\ [0.5ex] & \text{+ RB} \end{split} }$$ (7.11)

  
  

• Ortsdiskretisierung mittels Volumenmethode (Freiheitsgrade im Schwerpunkt der Volumina $T_j$, $j=\overline{1,N} \makebox[0pt]{}$), mit $u_j^K := \vec{u}^K(x_j)$, $x_j \in T_j$ führt auf das Gleichungssystem :
  

  $$\boxed{ \begin{split} u_j^0 &\;=\; \frac{1}{\vert T_j\ver... ...makebox[0pt]{} \hspace{2em}\forall K=0,1,\ldots \end{split} }$$ (7.12)

  
  

• Der Gaußsche Integralsatz überführt das Volumenintegral aus (7.15) in ein Oberflächenintegral, welches sich als Summe der $n_e(j)$ Integrale auf den Begrenzungskanten (-flächen) $S_{jl}$ des Volumenelements $T_j$ darstellen läßt. $n_{jl}$ ist der nach außen gerichtete Normalenvektor von $S_{jl}$.
  
  $$\int_{T_j} \mathrm{div} f(\vec{u}^K) \,dx \;=\; \int_{\parti... ...^{n_e(j)} \int_{S_{jl}} f(\vec{u}^K(s)) \vec{n}_{jl} \, ds$$
  
  
  
  
    

  Abbildung 7.1: Bezeichnungen am Volumenelement $T_j$.

  
  
  
• Der kritische Punkt für eine numerische Lösung (und auch deren Parallelisierung) ist, neben der Stabilität des expliziten Schemas, die numerische Approximation des Flusses über den Rand $\; \int_{S_{jl}} \cdot \;$ durch einen numerischen Fluß
  

  $$g_{jl}(\underline{u}^K) \;\approx\; \int_{S_{jl}} f(\underline{u}^K(s)) \vec{n}_{jl} \, ds \enspace.$$ (7.13)

  
  
  Das numerische Schema zum Lösen von (7.13) ist dann
  

  $$\boxed{ \begin{split} u_j^0 &\;=\; \frac{1}{\vert T_j\ver... ...makebox[0pt]{} \hspace{1em}\forall K=0,1,\ldots \end{split} }$$ (7.14)

  
  
  Die Berechnung von $g_{jl}$ wird im folgenden kurz skizziert.

Berechnung von $g_{jl}$ mittels Flux-Vector-Splitting

Die Vorgehensweise entspricht der in Kröner [Krö97], p.374f.
Es gelte, wie z.B. in (7.12),

$$f_1(\vec{u}) \;=\; f'_1(\vec{u})\cdot\vec{u} \hspace{2em}\tex... ...ce{2em} f_2(\vec{u}) \;=\; f'_2(\vec{u})\cdot\vec{u} \enspace.$$

Die Definition

$$C_{jl}(\vec{u}) \;:=\; \vec{n}_{jl} f'(\vec{u})$$

führt über ( $Q(\vec{u})$ - nichtsingulär) $Q^{-1}C_{jl}Q = D = \mathrm{diag}\left\{\lambda_1,\ldots,\lambda_m \right\}$ und $\lambda_i^{+} := \max\left\{ \lambda_i,\,0 \right\}$, $\lambda_i^{-} := \min\left\{ \lambda_i,\,0 \right\}$, $i=\overline{1,m} \makebox[0pt]{}\;$ zu

$$C_{jl}^{+}(\vec{u}) \,=\, Q D^{+} Q^{-1} \hspace{2em}\text{und}\hspace{2em} C_{jl}^{-}(\vec{u}) \,=\, Q D^{-} Q^{-1} \enspace.$$

Wegen $\vec{n}_{jl} = - \vec{n}_{lj}$ gilt $C_{jl}(\vec{u}) = - C_{lj}(\vec{u})$ und insbesondere $C_{jl}^{-}(\vec{u}) = - C_{lj}^{+}(\vec{u})$.

  

Abbildung 7.2: Fluß zwischen den Elementen $T_j$ und $T_l$ nach Steger und Warming.

Es wird nun der numerische Fluß $g_{jl} := \int_{S_{jl}} \widetilde{g} \makebox[0pt]{}_{jl}(s)ds$ mittels

$$g_{jl}(w,v) \;:=\; \vert S_{jl}\vert \left( C_1(w,v) w + C_2(w,v) v \right)$$ (7.15)

berechnet.

Für die Berechnung der $C_1$, $C_2$ gibt es verschiedene Ansätze :

1.

Nach Steger und Warming [SW81]

$$\begin{split} C_1(w,v) &\;:=\; C_{jl}^{+}(w) \\ C_2(w,v) ... ...stackrel{\mathrm{!}}{=}\; - C_{lj}^{+}(v) \;\right] \end{split}$$ (7.16)

2.

Nach Vijayasundaram [Vij86]

$$\begin{split} C_1(w,v) &\;:=\; C_{jl}^{+}(\frac{w+v}{2}) \\... ...thrm{!}}{=}\; - C_{lj}^{+}(\frac{w+v}{2}) \;\right] \end{split}$$ (7.17)

3.

Nach van Leer [Lee92]

$$\begin{split} C_1(w,v) &\;:=\; C_{jl}(w) + \left\vert C_{jl... ...vert C_{lj}^{+}(\frac{w+v}{2})\right\vert \;\right] \end{split}$$ (7.18)

Bemerkung :
Die Matrizen $C_{jl}^{+}(w)$, $C_{jl}^{-}(w)$ und $C_{jl}(w)$ sind lokal in $T_j$ berechenbar. Analog sind $C_{lj}^{+}(v)$, $C_{lj}^{-}(v)$ und $C_{lj}(v)$ lokal in $T_l$ berechenbar. Für die Anwendung des Argumentes $\frac{w+v}{2}$ muß als Vorbereitungsschritt der Mittelwert $\sum$]$\sum$ gebildet werden.
Die in (7.19)-(7.21) mit $[\hspace{1em}]$ gekennzeichneten Formeln für $C_2$ berechnen $C_2$ lokal in $T_l$. Allgemein gilt dann $\underbrace{C_2(w,v)}_{T_j} = -\underbrace{C_1(v,w)}_{T_l}\enspace$.