7.1.1 Die Differentialgleichungen

Aus der Impulsbilanz und der Massenerhaltung einer inkompressiblen (homogenen) Flüssigkeit ergeben sich die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.
Gesucht ist $u(x,t)\in [C^2(\Omega)\cup C(\overline{\Omega} \makebox[0pt]{})]\times [C^1((0,T])\cup C([0,T])] \enspace$, so daß gilt :

$$\boxed{ \begin{split} u_t - \nu\Delta u + \left( u\cdot \n... ...\; u_0(x) & \hspace{2em}\text{f\uml {u}r} \; t=0 \end{split}}$$ (7.1)

Hier bezeichnen :

$u$ - Vektor der Geschwindigkeitskomponenten,
$p$ - Druck (genauer $p:=p/\varrho$),
$f$ - Kraftfeld
$\nu$ - kinematische Viskosität
$g$ - Dirichlet-RB
$u_0$ - Anfangsbedingungen.



Falls Geschwindigkeit und Druck zeitunabhängig sind, erhält man die stationären Navier-Stokes-Gleichungen. Gesucht ist $u(x)\in C^2(\Omega)\cup C(\overline{\Omega} \makebox[0pt]{}) \enspace$, so daß gilt :

$$\boxed{ \begin{split} - \nu \Delta u + \left( u\cdot \nabl... ...;=\; g & \hspace{2em}\text{auf} \; \partial\Omega \end{split}}$$ (7.2)

Eine weitere Vereinfachung ergibt durch Weglassen des Konvektionsterms $\left( u\cdot \nabla \right) u$ die Stokes-Gleichungen

$$\boxed{ \begin{split} - \nu \Delta u + \nabla p \;=\; f ... ...;=\; g & \hspace{2em}\text{auf} \; \partial\Omega \end{split}}$$ (7.3)

Die zu (7.1) - (7.3) passenden Variationsformulierungen mit $u \in H^1$, $p \in L_2$ und passenden Ansatzräumen lassen sich leicht herleiten (siehe [Joh97],...). Die anschließende Diskretisierung mittels FEM, FVM liefert

• eine Folge (7.1)
• von nichtlinearen, nichtsymmetrischen (7.2)
• und indefiniten (7.3) Gleichungssystemen.

Um die Stabilität der Diskretisierung zu sichern (Erfüllung der diskreten $\inf\sup$-Bedingung), werden u.a. die in Abschnitt 7.1.3 erwähnten Elemente benutzt.