7.1.2 Die serielle Auflösung

Zur Zeitdiskretisierung von (7.1) benutzen wir das 2-schichtige gewichtete Differenzenschema ($L$ bezeichne den elliptischen Differentialoperator)

$$\frac{y(t_{K+1})-y(t_K)}{t_{K+1}-t_K} + \sigma L(y(t_{K+1})... ...t_{K})) \;=\; \sigma f(t_{K+1}) + (1-\sigma) f(t_K) \enspace.$$

Für $\sigma = 0$ erhält man das explizite Schema (Stabilität !!),
für $\sigma = 1$ das rein implizite und
für $\sigma = \tfrac{1}{2}$ das Crank-Nicolson Schema.
Es sind auch 3-schichtige Differenzenschemata anwendbar.

Bezeichne

$\tau=t_{K+1}-t_K$	:	Zeitschrittweite
$M$	:	Massenmatrix	$\longleftarrow\;\;$ $(u,v)_{L_2}$	$\longleftarrow\;\;$$u$
$D$	:	Diffusionsmatrix	$\longleftarrow\;\;$$a(u,v)$	$\longleftarrow\;\;$$\Delta u$
$C(u)$	:	Konvektionsmatrix	$\longleftarrow\;\;$$b(u,u,v)$	$\longleftarrow\;\;$ $(u\cdot\nabla) u$
$B$	:	Gradientenmatrix	$\longleftarrow\;\;$ $(p,\nabla \cdot v)$	$\longleftarrow\;\;$$\nabla p$
$B^T$	:	Divergenzmatrix	$\longleftarrow\;\;$ $(q,\nabla \cdot u)$	$\longleftarrow\;\;$ $\nabla\cdot u$
$\underline{u}^K = \underline{u}(t_K)$	:	Geschwindigkeitsvektor
$\underline{p}^K = \underline{p}(t_K)$	:	Druckvektor,

dann liefert die anschließende Ortsdiskretisierung eine Folge von nichtlinearen, nichtsymmetrischen und indefiniten Gleichungsystemen ( $K=0,1,\ldots$) :

$$\begin{pmatrix} \tfrac{1}{\tau} M + \sigma \left( D + C(\u... ...}\underline{\widehat{f} \makebox[0pt]{}}\, \\ 0 \end{pmatrix}$$ (7.4)

mit

$$\underline{\widehat{f} \makebox[0pt]{}} \;:=\; \sigma \underl... ...\underline{u}^{K}) \right) \right] \underline{u}^K \enspace.$$

Diese Idee ändert in (7.4) $C(\underline{u}^{K+1})$ in $C(\underline{u}^{K})$ (dies sind dann die diskreten Oseen-Gleichungen) und somit führt die Setzung

$$A(\underline{u}) \;:=\; \tfrac{1}{\tau} M + \sigma \left(D+C(\underline{u})\right)$$ (7.5)

zur Fixpunktiteration bei der Auflösung von (7.4).
  
Mit

läßt sich das lineare Sattelpunktproblem (7.6) als

$$\begin{pmatrix}A & B \\ B^T & 0 \end{pmatrix} \cdot \beg... ...\; \begin{pmatrix}\underline{r} \\ \underline{s} \end{pmatrix}$$ (7.6)

schreiben.

Eigenschaften von $A$, nach John [Joh97] Seite 30 :

• Stokes (7.3) $\hspace{1em}\Longrightarrow\hspace{1em}$ $A$ ist symmetrisch, positiv definit.
• Navier Stokes (7.2) mit Stabilisierung durch scharfes Upwind oder Streamline-Diffusion-Upwind-Petrov-Galerkin (SUPG)
  $\hspace{1em}\Longrightarrow\hspace{1em}$ $A=A(\underline{u})$ ist regulär (d.h. $\exists A^{-1}$), falls $u(x)$ die Massenbilanzgleichung $\nabla\cdot u(x)=0$