7.1.3.3 Das parallele Druckkorrekturverfahren

Das Sattelpunktproblem (7.7) (linear, nichtsymmetrisch, indefinit)

wird mit dem parallelen Druckkorrekturverfahren gelöst.
  
Zur Auflösung von (7.10) :

• $\widehat{C} \makebox[0pt]{} := {\ensuremath{\color{red} \mathfrak{I} } }_{N_p}$ (Uzawa) $\Longrightarrow$ $\underline{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{p} } }}_{\delta} = \sum\limits_{s... ...{u} } }}_{\delta} - \underline{{\ensuremath{\color{green} {\sf s}} }}_s \right)$
  Im Falle konstanter Druckansätze pro Element (Diskretisierungen a) und b) ) ist keine Typumwandlung/Akkumulation des Druckvektors nötig.
• $\widehat{A} \makebox[0pt]{} \approx {\ensuremath{\color{red} \mathfrak{A} } } =... ...\sf A}} }_s(\underline{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{u} } }}^n) \cdot A_s$, $\widehat{C} \makebox[0pt]{} := \left( {\ensuremath{\color{green} {\sf B}} }^T \... ...frak{A} } }} \makebox[0pt]{}^{-1}{\ensuremath{\color{green} {\sf B}} } \right)$, $\widetilde{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{A} } }} \makebox[0pt]{}\approx {\ensuremath{\color{red} \mathfrak{A} } }$
• Löst man die Gleichung (7.10) mittels der Fixpunktiteration (7.9)
  

  $$\left( {\ensuremath{\color{green} {\sf B}} }^T \widetilde{{... ...line{{\ensuremath{\color{green} {\sf s}} }} \right) \enspace,$$ (7.8)

  
  
  so wird bei der Berechnung der rechten Seite in der von
  
  $$\widehat{A} \makebox[0pt]{} \cdot \underline{{\ensuremath{\co... ...nderline{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{p} } }}_{\delta}^m$$
  
  
  wiederum ein geeignetes parallelisiertes IV aus Kap. 5 benutzt.
• Zur Auflösung von (7.11) setzen wir ein Iterationsverfahren ein, welches in jedem Schritt der Matrix-mal-Vektor Operation
  
  $$\underline{{\ensuremath{\color{green} {\sf v}} }} \;:=\; {\en... ...e{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{v} } }}} \makebox[0pt]{}}$$
  
  
  die schnelle parallele (und direkte) von
  
  $$\widetilde{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{A} } }} \makebo... ...f B}} } \underline{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{w} } }}$$
  
  
  erfordert.
  Für $\widetilde{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{A} } }} \makebox[0pt]{} := {\ensuremath{\color{red} \mathfrak{I} } }_{N_u}$ bzw. $\widetilde{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{A} } }} \makebox[0pt]{} := \sum\limits_{s=1}^p\mathrm{diag}{{\ensuremath{\color{green} {\sf A}} }_s}$ ist diese Forderung mit einer Vektorakkumulation per Iteration leicht realisierbar.
  Bei einer Diskretisierung mit dem nichtkonformen Element (a) sichert die Diagonalität von $M$ ([Joh97],pp.27) bei der Wahl $\widetilde{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{A} } }} \makebox[0pt]{} := {\ensu... ... \mathfrak{M} } } = \sum\limits_{s=1}^p {\ensuremath{\color{green} {\sf M}} }_s$ die schnelle parallele Auflösbarkeit.
  Bei Verwendung des konformen Elements (c) ist diese günstige Diagonaleigenschaft nicht mehr gegeben, wodurch eine Verwendung von $\widetilde{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{A} } }} \makebox[0pt]{}={\ensuremath{\color{red} \mathfrak{M} } }$ parallel ineffizient wird. Ersetzt man jedoch ${\ensuremath{\color{red} \mathfrak{M} } }$ durch eine Matrix  $\widetilde{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{M} } }} \makebox[0pt]{}$ wie in Abschnitt 5.5.6 beschrieben, und wählt $\widetilde{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{A} } }} \makebox[0pt]{}$ gleich der entsprechenden unvollständigen Zerlegung (Kapitel 5.5), ist mittels eines Iterationsverfahrens eine effiziente parallele Auflösung möglich.