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Seminar: Geometrische Analysis
Gaspard Jankowiak und Oliver Schnürer
Termin: Montag um 15.15 Uhr
Inhalt
In diesem Seminar betrachten wir den so genannten "Curve Shortening Flow" für ebene Kurven und konzentrieren uns dabei auf den Beitrag von M. Gage und R. Hamilton: Geschlossene konvexe Anfangskurven schrumpfen in endlicher Zeit zu einem sogenannten „runden Punkt“, d. h. sie konvergieren im Hausdorffabstand zu einem Punkt und nach geeignetem Reskalieren zu einem (runden) Kreis.
Vorträge
- Evolutionsgleichungen geometrischer Größen.
3, Kapitel 3.1 - Kurven beschränkter Krümmung bleiben eingebettet.
3, Kapitel 3.2 - Konvexe Kurven: Winkelparametrisierung und weitere Abschätzungen.
3, Kapitel 4 bis 4.3.3 - Langzeitexistenz für konvexe Kurven.
3, Kapitel 4 ab 4.3.4 - Konvergenz gegen einen Kreis: Abschätzungen für
\kappa.3, Kapitel 5 bis 5.7.6 - Konvergenz gegen einen Kreis: Abschätzungen für
\kappa'und\kappa''.3, Kapitel 5 ab 5.7.7
Literatur
[1] Altschuler, Steven J., and Matthew A. Grayson. Shortening Space Curves and Flow through Singularities. Journal of Differential Geometry 35, no. 2 (1992): 283–98. [pdf]
[2] Andrews, Ben, and Paul Bryan. ‘Curvature Bound for Curve Shortening Flow via Distance Comparison and a Direct Proof of Grayson’s Theorem’ 2011, no. 653 (2011): 179–87. [pdf]
[3] Gage, M., and R. S. Hamilton. The Heat Equation Shrinking Convex Plane Curves. Journal of Differential Geometry 23, no. 1 (1986): 69–96. [pdf]
[4] Grayson, Matthew A. ‘The Heat Equation Shrinks Embedded Plane Curves to Round Points’. Journal of Differential Geometry 26, no. 2 (1987): 285–314. [pdf]
[5] Huisken, Gerhard. A Distance Comparison Principle for Evolving Curves. Asian Journal of Mathematics 2, no. 1 (1998): 127–34. [pdf]
Vorbesprechung
Dienstag 22.03.2022 um 10 Uhr, F426