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## Seminar: Geometrische Analysis
Gaspard Jankowiak und Oliver Schnürer
Termin: Montag um 15.15 Uhr
### Inhalt
In diesem Seminar werden wir einen Blick auf den so gennanten *Curve Shortening Flow* für ebene Kurven werfen
und uns dabei auf den Beitrag von Gage und Hamilton konzentrieren. Unter bestimmten Bedingungen werden Lösungen rund
und [schrumpfen auf einen Punkt](https://www.youtube.com/watch?v=8Ez0QoJ3XG8), und zwar auf eine Weise, die sich genau beschreiben lässt.
In diesem Seminar betrachten wir den so genannten "Curve Shortening
Flow" für ebene Kurven und konzentrieren uns dabei auf den Beitrag von M. Gage und R. Hamilton: Geschlossene konvexe Anfangskurven schrumpfen in endlicher Zeit zu einem sogenannten „runden Punkt“, d. h. sie konvergieren im Hausdorffabstand zu einem Punkt und nach geeignetem Reskalieren zu einem (runden) Kreis.
### Vorträge
- Gage and Hamilton, Kapitel 3.1
- Gage and Hamilton, Kapitel 3.2
- Gage and Hamilton, Kapitel 4. Teil 1
- Gage and Hamilton, Kapitel 4. Teil 2
- Gage and Hamilton, Kapitel 5. Teil 1
- Gage and Hamilton, Kapitel 5. Teil 2
- Evolutionsgleichungen geometrischer Größen.
\[3, Kapitel 3.1\]
- Kurven beschränkter Krümmung bleiben eingebettet.
\[3, Kapitel 3.2\]
- Konvexe Kurven: Winkelparametrisierung und weitere Abschätzungen.
\[3, Kapitel 4 bis 4.3.3\]
- Langzeitexistenz für konvexe Kurven.
\[3, Kapitel 4 ab 4.3.4\]
- Konvergenz gegen einen Kreis: Abschätzungen für $\kappa$.
\[3, Kapitel 5 bis 5.7.6\]
- Konvergenz gegen einen Kreis: Abschätzungen für $\kappa'$ und $\kappa''$.
\[3, Kapitel 5 ab 5.7.7\]
### Literatur
- Altschuler, Steven J., and Matthew A. Grayson. *Shortening Space Curves and Flow through Singularities*. Journal of Differential Geometry 35, no. 2 (1992): 283–98. [pdf](https://gaspard.janko.fr/s/enseignement/konstanz/2021-2022/GA_Seminar/doc/Altschuler-Grayson.Shortening.space.curves.and.flow.through.singularities.pdf)
- Gage, M., and R. S. Hamilton. *The Heat Equation Shrinking Convex Plane Curves*. Journal of Differential Geometry 23, no. 1 (1986): 69–96. [pdf](https://gaspard.janko.fr/s/enseignement/konstanz/2021-2022/GA_Seminar/doc/Gage-Hamilton.The-heat-equation-shrinking-convex-plane-curves.pdf)
- Huisken, Gerhard. *A Distance Comparison Principle for Evolving Curves*. Asian Journal of Mathematics 2, no. 1 (1998): 127–34. [pdf](https://gaspard.janko.fr/s/enseignement/konstanz/2021-2022/GA_Seminar/doc/Huisken.A-distance-comparison-principle-for-evolving-curves.pdf)
\[1\] Altschuler, Steven J., and Matthew A. Grayson. *Shortening Space Curves and Flow through Singularities*. Journal of Differential Geometry 35, no. 2 (1992): 283–98. \[[pdf](https://gaspard.janko.fr/s/enseignement/konstanz/2021-2022/GA_Seminar/doc/Altschuler-Grayson.Shortening.space.curves.and.flow.through.singularities.pdf)\]
\[2\] Andrews, Ben, and Paul Bryan. ‘Curvature Bound for Curve Shortening Flow via Distance Comparison and a Direct Proof of Grayson’s Theorem’ 2011, no. 653 (2011): 179–87. \[[pdf](https://gaspard.janko.fr/s/enseignement/konstanz/2021-2022/GA_Seminar/doc/Bryan.Curvature-bound-for-CSF-via-distance-comparion.pdf)\]
\[3\] Gage, M., and R. S. Hamilton. *The Heat Equation Shrinking Convex Plane Curves*. Journal of Differential Geometry 23, no. 1 (1986): 69–96. \[[pdf](https://gaspard.janko.fr/s/enseignement/konstanz/2021-2022/GA_Seminar/doc/Gage-Hamilton.The-heat-equation-shrinking-convex-plane-curves.pdf)\]
\[4\] Grayson, Matthew A. ‘The Heat Equation Shrinks Embedded Plane Curves to Round Points’. Journal of Differential Geometry 26, no. 2 (1987): 285–314. \[[pdf](https://gaspard.janko.fr/s/enseignement/konstanz/2021-2022/GA_Seminar/doc/Grayson.The-heat-equation-shrinks-embedded-plane-curves-to-round-points.pdf)\]
\[5\] Huisken, Gerhard. *A Distance Comparison Principle for Evolving Curves*. Asian Journal of Mathematics 2, no. 1 (1998): 127–34. \[[pdf](https://gaspard.janko.fr/s/enseignement/konstanz/2021-2022/GA_Seminar/doc/Huisken.A-distance-comparison-principle-for-evolving-curves.pdf)\]
### Vorbesprechung

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