WS 23/24 University of Graz

• Master Seminar “Applied Mathematics” Friday 11:00-12:30

• Mathematisches Seminar Dienstag 10:00-11:30

SS 2023 University of Konstanz

• Seminar “Long time behaviour for the Keller-Segel model”

  A classical system for modelling the movement of cells (chemotaxis) has been proposed by Keller & Segel and is formed of parabolic or elliptic equations coupled through a drift term. This model exhibits a deep mathematical structure since smooth solutions exist for small initial norm, and blow-up for large norms. The goal of this seminar is to understand the different behaviours in 2 or higher dimensions and how we can mathematically prevent the occurrence of blow-up.
  

• Oberseminar Partielle Differentialgleichungen

  11.05 - Selina Hoffmann (University of Konstanz, Germany)
  06.07 - Luca Scarpa (Politecnico Milan, Italy)
  13.07 - Greta Marino (University of Augsburg, Germany)
  

WS 22/23 University of Konstanz

• Theorie (und Numerik) partieller Differentialgleichungen

  Dienstag 10:00-11:45 und Freitag 10:00-11:45
  
  25.10 - Grundbegriffe und Beispiele: Definition PDGL; Beispiele und Fragen. Lösungsansätze. Gleichung erter Ordnung: Definition Charakteristik.
  28.10 -Eindeutigkeit der Lösung auf der Charakteristik. Eindeutigkeit der Lösung für das Cauchysche Anfangswertaufgabe. Typeinteilung bei linearen Gleichungen zweiter Ordnung: Definition elliptisch, parabolisch, hyperbolisch; Definition Randbedingungen (Dirichlet, Neumann, Robin); Definition Charakteristik.
  04.11 - Verbindung zwischen der Einteilung in elliptisch/parabolisch/hyperbolisch und Charakteristiken. Satz von Cauchy und Kowalewskaja. Faltung von Distributionen.
  08.11 - Charakteristiken für Wellenoperator. Existenz einer Grundlösung zu $-\Delta$.
  11.11 - Das Maximum- und Minimumprinzip. Grundlegendes zur Fourier-Transformation: Definition Schwarz-Raum, Faltung, Fourier-Transformation; Eigenschaften; Satz Fixpunkt der Fourier-Transformation.
  15.11 - Wärmeleitungsgleichung. Gleichung von Black und Scholes.
  18.11 - Schwaches und Starkes Maximumprinzip für parabolische Gleichungen. Stetige Abhängigkeit von den Daten; Eindeutigkeit klassischer Lösungen; exponentiell konvergen für $g=f=0$.
  22.11 - Herleitung der Wellengleichung für eine schwingende Saite. D’Alembertsche Formel. Wellengleichung im Halbraum (1D). Wellengleichung im $\mathbb{R}^3$.
  25.11 - Wellengleichung im $\mathbb{R}^2$. Huygens’sches Prinzip. Explizite Lösung für eine rechteckige Membranen. Energiegleichung für die allgemeine Wellengleichung.
  29.11 - Existenz von schwachen Lösungen des elliptischen Dirichlet-Problems $L(u)=f$. Lemma von Lax-Milgram.
  02.12 - Beweis Lax-Milgram. Existenzsatz A-priori-Abschätzung. Erweiterung: allgemeine rechte Seite, inhomogene Dirichlet-Randbedingungen, Neumann Randbedingungen, $b=0$, $c=0$. Regularität im Inneren.
  06.12 - Definition Bochner-Räume. Existenz- und Eindeutigkeitssatz der schwachen Lösung für parabolische Gleichungen mit Koeffizienten, die auch von der Zeit abhängengit: Galerkin-Methode.
  09.12 - Allgemeine Wiederholung. Zeit für Fragen und Zweifel.
  

• Dynamical Systems Aspects of PDE

  Mittwoch 10:00-11:45
  
  26.10 - Introduction. Background on ODEs and Dynamical Systems.
  02.11 - Implicit functions and Lyapunov-Schmidt. Crandall-Rabinowitz theorem with proof.
  09.11 - First and second order bifurcation curve approximation. Ellipticity and Fredholm operators. Stability and spectral theory.
  16.11 -Existence of Travelling Waves: periodic/homoclinic/heteroclinic orbit; travelling wave train, travelling pulse, travelling front; $\alpha$- $\omega$-limit sets; Lin’s method.
  23.11 - Pushed and pulled fronts: dispersion relation, linear spreading speed. General stability theory of travelling waves: definition of eigenvalue, essential spectrum and point spectrum.
  30.11 - Sturm-Liouville operator: theorem existence and stability of waves for bistable PDE. Definition of fondamental solution and exponential dichotomy. Palmer’s theorem.
  07.12 - Theorem end states and wave stability. Example for Nagumo equation. Definition of Evans function. Evans function properties. Multiple scale for Swift-Hohenberg.
  14.12 - Amplitude equation and its validity.
  21.12 - Summary, doubts and questions.
  11.01 - Semigroups and sectorial operators.
  18.01 - Dissipation and absorbing sets.
  25.01 - Nonlinear saddles and invariant manifolds.
  01.02 - Spectral gap and existence of inertial manifolds.
  

• Fachseminar Analysis (Bachelor)

  Wenn Sie an der Teilnahme am Seminar interessiert sind, melden Sie sich auf Ilias an oder schreiben Sie mir eine E-Mail.
  

• Oberseminar Partielle Differentialgleichungen

  01.12 - Stefano Almi (University of Naples, Italy)
  26.01 - Giacomo Canevari (University of Verona, Italy)
  

SS 2022 University of Konstanz

• Einführung in die Theorie der Dynamischen Systeme
  

• Seminar “Modelling and Analysis of Dynamic Continua”

  ‘Kollektive’ aus vielen ‘Agenten’ werden oft durch Systeme partieller Differentialgleichungen beschrieben. Dem liegt die Vorstellung zugrunde, dass das ‘mikroskopische’ Geschehen über eine ‘mesoskopische’ Ebene zu einer ‘makroskopischen’ Dynamik zusammengefasst werden kann. Diese Sichtweise trägt in der Modellierung von Gasen beim Übergang von vielen gewöhnlichen Differentialgleichungen für die einzelnen Moleküle via Boltzmanngleichung für die Verteilungs- funktion ihrer Geschwindigkeiten zu den hyperbolisch-/parabolischen Systemen von Euler oder Navier-Stokes. Aber auch soziale Prozesse wie etwa Schwarm- oder Meinungsbildung erlauben diese Perspektive der mathematischen Modellierung, in der man vom Individualverhalten auf die Gruppendynamik schließt.
  Termine: 09.05 – 16.05 – 24.05 – 30.05 – 02.06 – 14.07
  

• Oberseminar Partielle Differentialgleichungen

  12.05 - Gianluca Favre (University of L’Aquila, Italy)
  19.05 - Laurent Bétermin (University Lyon 1, France)
  09.06 - Jakub Skrzeczkowski (University of Warsaw, Poland)
  

WS 21/22 University of Konstanz

• Partial Differential Equations in Mathematical Physics

  25.10 - Traffic flow models: modelling. Definition of hyperbolic equation, classical and weak solutions. Scalar hyperbolic conservation laws.
  03.10 - Method of characteristics.
  08.11 - Mathematical theory for scalar conservation laws.
  10.11 - Traffic light problem (LWR model). Numerical approximation for linear advection equation.
  15.11 - Numerical approximation for nonlinear conservation laws. Theory of elasticiy: notations and hyperelastic matherials.
  22.11 - Theory of elasticiy: variational formulation and linear elasticity. Diffusion filtering in image processing: linear diffusion filter.
  24.11 - Nonlinear diffusion filters: Perona-Malik model (1D and 2D), regularized Perona-Malik model.
  29.11 - Anisotropic diffusion filter. Edge sharpeing: shock filter. Patter formation: reaction-diffusion equation and definition of diffusion-driven instability.
  06.12 - Sufficient and necessary conditions for diffusion-driven instability. Pattern formation for the Schnackenberg system.
  13.12 - Animal coat color patterns. Pattern formations in two component mixtures (Cahn-Hilliard equation): linear instability, long-time behaviour. Fluid mechanics: continuity equation.
  15.12 - Stampacchia’s truncation method and fixed-point theorem(s): application to the regularized Perona-Malik model. Fluid mechanics: momentum balance equation.
  20.12 - Conservation of the energy. Special cases for Euler equations. Navier-Stokes equations and special cases. Planar Couette flow. Planar Poisseuille flow.
  10.01 - Helmoltz-Hodge decomposition. Vorticity field. Vorticity equation.
  12.01 - Reconstruction of the velocity field u from the vorticity field. Motion of point vortices in $\mathbb{R}^2$. Vorticity model as Hamiltonian system.
  17.01 - Von Karman street. Model problem for the method of asymptotic expansion. Boundary layer for Navier-Stokes: outer expansion.
  19.01 - Boundary layer for Navier-Stokes equation. Problem with free boundary: deduction from Navier-Stokes equation and boundary conditions.
  24.01 - Positivity of the solution for the free boundary problem. Collective behaviour: microscopic ODE models and kinetic model.
  31.01 - Collisional operator, scattering kernel, initial condition and boundary conditions, conservation laws.
  07.02 - Bolzmann entropy and entropy dissipation. Example of a market with wealth exchange.

• Oberseminar Partielle Differentialgleichungen

  27.01 - Nicola Zamponi (TU Wien, Austria)
  

WS 19/20 University of Vienna

• Mathematik I für die Erdwissenschaften (u:find)
  Do. 3. Oktober - Mengenlehre (Mächtigkeit, Mengengleichheit, Untermenge, Vereinigung, Durchschnitt, Leere Menge), natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, abzählbare Menge, periodische Zahlen (Beweis Dezimalbruchentwicklung).
  Do. 10. Oktober - Reelle Zahlen, Definition von Summensymbol, Vollständige Induktion als Beweismittel (hier noch ein paar Übungen).
  Do. 17. Oktober - Definition von Produktsymbol, n-Faktorielle, Binomialkoeffizienten (Definition, Binomischer Lehrsatz, Endliche geometriche Reihe), Eigenschaften von Potenzen, Definition von Vektor, Rechnen mit Vektoren, Länge eines Vektors.
  Do. 24. Oktober - Inneres und äußeres Vektor-Produkt, Winkel zwischen Vektoren, Spat-Produkte, Komplexe Zahlen (Definition und Rechnen).
  Do. 7. November - Betrag einer komplexen Zahl, Komplexe Ebene und Polarkoordinaten, Potenzieren im Komplexen, Gleichunssysteme mit zwei und drei Unbekannten, Determinante einer (2x2)-Matrix und (3x3)-Matrix, Cramer’sche Regel.
  Do. 14. November - Vektorräumen, Definition von Linearkombination und lineare Abhängigkeit (und Beispiele), Norm, Euklidisches Skalarprodukt, Beispiele für Normen und Skalarprodukt, Definition (nxm)-Matrix, Definition von Streichungsmatrix und Entwicklungssatz für Determinanten.
  Do. 21. November - Matrizenrechnungen (Addition, Skalare Multiplikation, Multiplikation), Spezielle Matrizen (Einheitsmatrix, Diagonalmatrix, obere und untere Dreiecksmatrix, transponierte Matrix, Symmetrische Matrix, inverse Matrix), Rechenregeln für Determinanten, Rang einer Matrix, Gauß’sches Eliminazionsverfahren, lineare Abbildungen.
  Do. 28. November - Drehungen im der Ebene $\mathbb{R}^2$ und im Raum $\mathbb{R}^3$, Spiegelungen um eine Koordinaten-Achse, Punktspiegelungen, charakteristisches Polynom einer Matrix, Spur einer Matrix, Eigenwerte, algebraische Vielfachheit.
  Do. 5. Dezember - Wiederholung Eigenwerte und algebraische Vielfachheit, Definition von geometrische Vielfachheit, Eigenvektoren, diagonalisierbare Matrix, Definition von reelle Funktion, Graph der Funktion.
  Do. 12. Dezember - Funktion injektive, surjektive und bijektive, Umkehrfunktion, Rechenregeln für Funktionen (Addition, Multiplikation, Division, Komposition), Stetigkeit von Funktionen, Eigenschaften stetiger Funktionen, Polynome, Nullstellen von Polynomen, Fundamentalsatz der Algebra. Übungs.
  Do. 9. Jänner - Rationale Funktionen, Potenzreihen une geometrische Reihe, Kovergenzradius, Quotientenkriterium, Exponential Funktion mit Beispiele, Logarithmus Funktion. Übungs.
  Do. 16. Jänner - Beispiele für Logarithmus und Exponential Funktion (auch mit unterschiedlichen Basen), Trigonometrische Funktionen (Sinus- und Kosinusfunktion, Tangens und Kotangens) und Beziehung zur Exponentialfunktion.
  Do. 23. Jänner - Tutorium

WS 18/19 University of Vienna

• Mathematik I für die Erdwissenschaften (u:find)
  Do. 4. Oktober - Mengenlehre (Mengengleichheit, Untermenge, Vereinigung, Durchschnitt, Leere Menge), natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, abzählbare Menge, periodische Zahlen.
  Do. 11. Oktober - Reelle Zahlen, Definition von Summensymbol, Produktsymbol, n-Faktorielle, Vollständige Induktion als Beweismittel.
  Do. 18. Oktober - Binomialkoeffizienten (Definition, Binomischer Lehrsatz, Endliche geometriche Reihe), Eigenschaften von Potenzen, Anordnungsaxiome (Positivität, Absolutbetrag, Dreiecksungleichung ohne Beweis), Definition von Vektor, Rechnen mit Vektoren, Länge eines Vektors.
  Do. 25. Oktober - Inneres und äußeres Vektor-Produkt, Winkel zwischen Vektoren, Spat-Produkte, Komplexe Zahlen (Definition und Rechnen), Polarkoordinaten.
  Do. 8. November - Gleichunssysteme mit zwei und drei Unbekannten, Determinante einer (2x2)-Matrix und (3x3)-Matrix, Cramer’sche Regel, Vektorräumen, Definition von Linearkombination und lineare Abhängigkeit, Norm, Euklidisches Skalarprodukt.
  Do. 15. November - Beispiel für Normen und Skalarprodukt, Definition (nxm)-Matrix, Matrizenrechnungen (Addition, Skalare Multiplikation, Multiplikation), Spezielle Matrizen (Einheitsmatrix, Diagonalmatrix, obere und untere Dreiecksmatrix, transponierte Matrix, Symmetrische Matrix, inverse Matrix), Definition von Streichungsmatrix und Entwicklungssatz für Determinanten.
  Do. 22. November - Rechenregeln für Determinanten, Rang einer Matrix, Gauß’sches Eliminazionsverfahren, lineare Abbildungen, Drehungen im der Ebene $\mathbb{R}^2$ und im Raum $\mathbb{R}^3$.
  Do. 29. November - Spiegelungen um eine Koordinaten-Achse, Punktspiegelungen, charakteristische Polynom einer Matrix, Spur einer Matrix, Eigenwerte, Eigenvektoren, algebraische und geometrische Vielfachheit.
  Do. 6. Dezember - Wiederholung Eigenwerte und Eigenvektoren, diagonalisierbare Matrix, Definition von reelle Funktion, Graph der Funktion, injektiv, surjektiv und bijektiv Funktion.
  Do. 13. Dezember - Umkehrfunktion, Rechenregeln für Funktionen (Addition, Multiplikation, Division, Komposition), Stetigkeit von Funktionen, Eigenschaften stetiger Funktionen, Polynome, Nullstellen von Polynomen, Fundamentalsatz der Algebra.
  Do. 10. Jänner - Rationale Funktionen, Potenzreihen, Kovergenzradius, Exponential Funktion, Logarithmus Funktion.
  Do. 17. Jänner - Quotientenkriterium, Wurzelkriterium and Majorantenkriterium, Beispiele für Logarithmus und Exponential Funktion (auch mit unterschiedlichen Basen), Trigonometrische Funktionen (Sinus- und Kosinusfunktion, Tangens und Kotangens, Arkussinus und Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens). Zeit für Fragen und Zweifel.
  Do. 24. Jänner - Tutorium