5.6.1 Das Schurkomplement

Der Begriff des Schurkomplements geht auf den Mathematiker Isaai Schur^5.1 (1894-1939 in Deutschland arbeitend) zurück. Wir führen den Begriff von einem anderen Ansatz her ein.

  

Abbildung 5.5: 2 Superelemente (=Teilgebiete) mit Diskretisierung

Die FE-Knotenverteilung in Abb.5.5 induziert im zu lösenden Gleichungssystem (5.1) eine Blockstruktur :

$$\begin{pmatrix} K_C & K_{CI,1} & K_{CI,2} \\ K_{IC,1} & ... ...rline{f}_{I,1} \\ \underline{f}_{I,2} \end{pmatrix} \enspace .$$ (5.6)

Eine Gaußelimination des oberen Dreiecks der Matrix in (5.6) ergibt das gestaffelte Gleichungssystem

$$\begin{pmatrix}S_C & 0 \\ K_{IC} & K_I \end{pmatrix} \cdo... ...ix}\underline{g}_C \\ \underline{f}_I \end{pmatrix} \enspace ,$$ (5.7)

mit dem Schurkomplement

$$S_C = K_C - K_{CI} K_I^{-1} K_{IC}$$ (5.8)

$$= \left( K_{C,1} - K_{CI,1} K_{I,1}^{-1} K_{IC,1} \right) + \left( K_{C,2} - K_{CI,2} K_{I,2}^{-1} K_{IC,2} \right)$$

$${\text{und der modifizierten rechten Seite}}$$

$$\underline{g}_C = \underline{f}_C - K_{CI} K_I^{-1} \underline{f}_I \enspace .$$

Hierbei ist $K_{IC}= \left(\begin{smallmatrix}K_{IC,1} \\ K_{IC,2} \end{smallmatrix}\right)$ und $K_I = \textrm{blockdiag}\{K_{I,1},K_{I,2}\}\enspace$. Die Matrix $S_C$ ist i.a. vollbesetzt, in bestimmten Fällen läßt sich das Schurkomplement explizit angeben.

Der Hauptnutzen obigen Gleichungssystems (5.7) besteht darin, daß durch die Blockdiagonalstruktur von $K_I$ die Invertierung der lokalen Matrizen $K_{I,1}$ und $K_{I,2}$ hintereinander für jedes Superelement ausgeführt werden kann, wodurch den Hauptspeicher übersteigende Probleme durch Auslagerung der nicht benötigten Daten auf externe Datenträger trotzdem gelöst werden können. Dieses Vorgehen wurde in den 60/70-ger Jahren als Element-by-Element Methode (EBE) bekannt.
 
Da das Schurkomplement nur in den seltensten Fällen explizit angebbar ist, löst man oft das reduzierte Gleichungsystem (mit vollbesetzter Matrix !) in II) mittels eines geeigneten Iterationsverfahrens. Der Vorteil besteht darin, daß die in jedem Iterationsverfahren notwendige Matrix-mal-Vektor Multiplikation ausgeführt werden kann :

Die superelementweise Invertierung der $K_{I,s}$ geschieht durch einmalige LU- bzw. Choleskyzerlegung, wodurch die weitere Anwendung von  $K_{I,s}^{-1}$ nur noch in den Rücksubstitutionsschritten besteht.