Woche der Modellierung mit Mathematik im JUFA Leibnitz
8. - 14. Februar 2020
Projekt: Data Science
Betreuer: Gernot Holler, BSc MSc
Symbolerkennung durch künstliche neuronale Netzwerke
Künstliche Intelligenz findet zunehmend Einzug in unser
alltägliches Leben. Ihre Einsatzgebiete reichen dabei von Sprach-
und Schrifterkennung bis hin zu selbstfahrenden Autos sowie der
Krebsdiagnostik.
Eine Schlüsselfertigkeit künstlicher Intelligenz ist das
Interpretieren von Daten, wie zum Beispiel das Erkennen von Objekten
und Mustern in Bildern. Künstliche neuronale Netzwerke sind ein
durch die menschliche Biologie inspirierter Zweig künstlicher
Intelligenz, in dem insbesondere im Bereich der Mustererkennung
große Erfolge erzielt werden konnten.
Wir wollen versuchen hinter die Kulissen zu blicken und zu verstehen,
wie künstliche neuronale Netze aufgebaut sind und wie sie das
Interpretieren von Daten erlernen. Ebenso wollen wir unser eigenes
neuronales Netzwerk konstruieren und es trainieren Zahlen
bzw. Buchstaben in Bildern zu erkennen. Hierzu werden wir neben eines
selbstimplementierten neuronalen Netzwerkes auch state of the art
Programmbibliotheken wie Google's TensorFlow verwenden.
Projekt: Dynamik
Wer kennt das nicht, man sieht einen Schuss beim Fußball, Tennis oder
Billard und fragt sich wie konnte das nun überhaupt funktionieren, oder
erlaubt sich die Realität dabei eine Scherz mit uns. Dabei unterliegen solche
Trajektorien aber in der Regel ganz einfachen physikalischen Gesetzen. Vor
allem die Newtonschen Gesetze beschreiben auf faszinierend einfache Weise, wie
Kräfte die Bahnen sich bewegender Körper beeinflussen.
In diesem Projekt wollen wir uns mit den Newtonschen Gesetzen und deren
Zusammenhang mit Bahnen von Körpern unter Einfluss äußer Kräfte wie
Schwerkraft, Widerständen oder Kollisionen beschäftigen. Dabei liegen
Schwerpunkte darauf, zu erkennen wie sich das natürliche Verständnis (wenn
ich hier Kraft ausübe bewegt sich das) in mathematische Systeme eingliedern
lässt, sowie die Simulation solcher Systeme um spielerisch den Einfluss
gewisser physikalischer Größen zu erarbeiten. Damit lassen sich eine
Vielzahl von Problemstellungen, wie etwa ein Billardspiel, der Flug eines
Fußballs oder die Bewegung von Planeten mit grundsätzlich gleichen
mathematischen und physikalischen Prinzipien erarbeiten.
Projekt: Kontrolltheorie
Betreuer: Florian Thaler, BSc
Autonome Steuerung einer Mondlandefähre
``Houston, Tranquility Base here. The Eagle has landed.'' ...Am 20. Juli
1969 landete (anscheinend ;)) die Apollo-Mondlandefähre auf unserem
Trabanten. Nach dem Aufsetzen meldete Neil Armstrong die erfolgreiche Landung
mit ebendiesen Worten. Ob die Mannschaft um Neil Armstrong tatsächlich auf
dem Mond war, werden wir wohl nicht klären können - weshalb wir uns mit
dieser Frage auch nur am Rande beschäftigen werden.
Vielmehr geht es uns darum eine Strategie zur autonomen - also
selbstständigen - Steuerung einer Mondlandefähre abzuleiten, welche ein
sanftes Aufsetzen dieser auf der Mondoberfläche gewährleistet. Hierfür
gilt es zunächst eine physikalische Beschreibung der Problemstellung zu
finden und sich mit dieser vertraut zu machen. Die resultierenden
Bewegungsgleichungen erlauben es uns dann ein mathematisches Steuerungsproblem
zu formulieren, welches der Ausgangspunkt all unserer überlegungen sein wird.
Es soll uns aber nicht nur darum gehen bereits bekannte Konzepte aus dem
Bereich der Kontrolltheorie zu studieren und anzuwenden. Vielmehr bietet die
Problemstellung sehr viel Freiraum für eigenständig erarbeitete und
kreative Ansätze.
Projekt: Mechanik und Statik
Betreuer: Dr. Robert Beinert, MSc BSc
Brücken und Türme: Kräfteverteilungen in Fachwerken
Am Tag der feierlichen Eröffnung, dem 31. März 1889, bestieg Gustave Eiffel
mit einer Delegation die Spitze des gerade fertiggestellten Turmes und hisste
die französische Trikolore. Selten waren die Proteste gegen ein Bauwerk
größer, selten die Begeisterung und der Stolz. Als monumentales
Eingangsportal und Aussichtsturm der zehnten Weltausstellung in Paris ist das
damals mit Abstand höchste Gebäude der Welt nicht mehr aus dem Stadtbild
und dem französischen Nationalbewusstsein wegzudenken. Mit seinen 18.038
Einzelteilen, zusammengehalten von über 2,5 Millionen Nieten, trotzt der
riesige Eisenfachwerkturm, Wahrzeichen der Industrialisierung und
Ingenieurskunst, Wind und Wetter.
Wie können filigrane Türme, Brücken, Fassaden, Kuppeln, Fahrzeugrahmen,
bestehend aus einem mehr oder weniger komplizierten Geflecht aus Stahlstreben,
den enormen physischen Kräften, denen sie tagtäglich ausgesetzt werden,
widerstehen? Um Fragen wie diese zu beantworten, werden wir diese Strukturen
als sogenannte Fachwerke modellieren. Bei einer Belastung durch äußere
Kräfte beginnen sich Stahlkonstruktionen zu verformen. Sind die Kräfte
nicht zu groß, kehrt das Stabwerk bei Wegnahme der Belastung wieder in den
Ursprungszustand zurück. Das Material verhält sich also elastisch. Obwohl
bei Bauwerken die Verformung meistens nicht mit dem bloßen Auge
wahrgenommen werden kann, ist diese für die Berechnung der Kräfteverteilung
unerlässlich. Werden die Kräfte in einem einzelnen Stab zu groß,
verlieht die Stahlkonstruktion ihre Stabilität und bricht auseinander.
Projekt: Probabilistische Physik
Betreuer: Mag.Dr. Stephen Keeling
Die Entstehung von Determinismus aus Indeterminismus
Ist alles in Deinem Leben vorbestimmt, analog zu den Schritten einer Uhr? Ist
gar nichts in Deinem Leben vorbestimmt, analog zum Zerfall eines Teilchens?
Wenn über Zufall geredet wird, wird nur implizit über einen Mangel an
Wissen hingewiesen? Gibt es etwas viel Tieferes dabei? Trotz der Möglichkeit
einer grundlegenden Ungewissheit werden scheinbare Gesetzmäßigkeiten
beobachtet. Wie entstehen diese? Kann es sein, dass mikroskopische Eregnisse
in gewisser Weise zufällig sind, aber makroskopische Eregnisse so
wahrscheinlich, dass diese erscheinen als würden sie sich praktisch aus
Gesetzmäßigkeiten ergeben?
In diesem Projekt wird dieser übergang vom Indeterminismus zum Determinismus
anhand von Beispielen untersucht. Um uns mit dem Werkzeug vertraut zu machen,
werden wir mit Gedankenexperimenten über ganz viele Münzen oder ganz viele
Würfel beginnen und schauen, inwiefern ein Ergebnis mit Sicherheit
vorausgesagt werden kann. Mit der gewonnenen Erfahrung werden wir Beispiele
mit vielen Teilchen untersuchen, die in Gleichgewicht sind (Statistische
Mechanik) oder nicht (Brownschen Bewegung, Diffusion). Schließlich werden
wir den übergang von unscharfen Materiewellen (Quantenmechanik) zu scharfen
Teilchen (Klassische Mechanik) untersuchen.
Tagebuch
