INSTITUT FÜR MATHEMATIK
UND WISSENSCHAFTLICHES RECHNEN
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Problemstellungen

Woche der Modellierung mit Mathematik im JUFA Pöllau
9. - 15. Februar 2019


Projekt: Diskrete Geometrie

Betreuerin: Dr. Ana Garcia Elsener

Friesmuster

Numerische Friesmuster sind mathematische Objekte, die im Bereich der Kombinatorik untersucht werden. Sie sind durch zwei-dimensionale Anordnungen von Zahlen gegeben, die eine lokale Gleichung erfüllen. Friese wurden in den 70er Jahren untersucht. Vor kurzem fanden Mathematiker aus anderen Bereichen sie interessant, als sie herausfanden, dass diese Muster auch in abstrakteren Theorien vorkommen.

Am Ende der Woche wird sich die Teamleiterin mit Softwareentwicklern in Verbindung setzen, um die Ergebnisse mit den entsprechenden Forschern zu teilen. Dem Team wird die Möglichkeit gegeben, den Code bei SAGE einzureichen. SAGE ist ein Open-Source-Mathematik-Softwaresystem, und das Team wird der offizieller Autor des eigenen Pakets sein.

Projekt: Biologie

Betreuer: Clemens Schiffer, BSc MSc

Schwarmintelligenz

Jede einzelne Termite ist dumm, aber zusammen baut ein Schwarm ein komplexes Nest. Wie kann das funktionieren? Dieses 'emergente' Phänomen zeigen, wie Gruppen intelligente Entscheidungen treffen können unabhängig von der Intelligenz der Mitglieder. Die Gruppe formt so einen 'Superorganismus'. Das Geheimnis: Selbstorganisation. Keine zentrale Stelle gibt vor, wie gebaut werden soll, aber jede Termite reagiert nach einfachen Regeln darauf, was die anderen in ihrer Umgebung machen. Indirekte Kommunikation kann mittels Pheromonen stattfinden. Zum Beispiel, baut eine Termite ein Stück des Nestes und versetzt es mit Pheromonen, dass wiederum regt andere an, auch dort zu bauen, was mehr Pheromone freisetzt. So entsteht ein positiver Feedback-Mechanismus.

Wir werden den Nestbau von Termiten anhand einer Multi-Agenten-Simulation simulieren, in welcher jede einzelne Termite als autonomer Agent agiert. Alternativ können wir auch die kontinuierliche Verteilung von Termiten, Pheromonen und Baumaterial mittels Diffusionsgleichungen beschreiben.

Projekt: Automatisiertes Fahren

Betreuer: Florian Thaler, BSc

Strategien der automatisierten Fahrzeugsteuerung

Automatisiertes Fahren ist in aller Munde. Laut BmVIT wird automatisiertes Fahren die Mobilität der Zukunft tiefgreifend verändern. Automobilkonzerne beschäftigen sich schon seit geraumer Zeit mit der Aufgabe Konzepte zu entwickeln, welche es Fahrzeugen erlauben selbstständig, und ohne menschlichen, korrigierenden Eingriff durch den Straßenverkehr zu navigieren. Worauf beruhen diese Konzepte? Nach welchen Prinzipien können wir Menschen einer Maschine beibringen Hindernisse zu erkennen, wahrzunehmen, diesen auszuweichen und von einem Startpunkt ausgehend ein Ziel anzusteuern?

Hauptsächlich soll es uns darum gehen eine Methode namens 'Artificial potential field algorithm' zu beleuchten, welche sich künstlich erzeugter Potentialfelder und dem zweiten Newton' schen Gesetz bedient. Mit diesem Verfahren soll es uns gelingen ein virtuelles Fahrzeug sicher von einem vordefinierten Startpunkt in einer virtuellen Umgebung aus statischen, als auch dynamischen, also sich bewegenden, Hindernissen an einen Zielpunkt zu navigieren.

Darüberhinaus möchte ich gerne, sofern es die Zeit erlaubt, einen Einblick in eine etwas raffiniertere und zur Zeit sehr moderne Herangehensweise in diesem Zusammenhang gewähren. Diese zweite Herangehensweise bedient sich Prinzipien des Machine Learning beruhend auf dem Konzept des Reinforcement Learning.

Projekt: Medizinische Bildgebung

Betreuer: Dr. Robert Beinert, BSc MSc

Das Unsichtbare sichtbar machen: Algebraische Rekonstruktionstechniken in der Computertomographie

Wie können wir das Innerer eines Körpers betrachten ohne ihn zu zerstören? Gerade in der Medizin stellt sich diese Frage, um Patienten möglichst schonend zu untersuchen oder um Operationen exakt zu planen. Einen ersten Schritt in diese Richtung unternahm der Physiker Wilhelm Conrad Röntgen mit der nach ihm benannten Röntgendiagnostik, wobei das zu untersuchende Objekt von einer Röntgenquelle durchleuchtet und auf einem Röntgenfilm abgebildet wird. Hierbei entsteht ein Schattenriss, wobei sich hintereinander liegende Teilobjekte überlagern, was die Interpretation von Röntgenbildern erschwert.

Die Grundidee hinter der Computertomographie ist die Verwendung zusätzlicher Röntgenbilder, aufgenommen aus unterschiedlichen Richtungen, um einen zweidimensionalen Schnitt mit feinen Details oder eine dreidimensionale Rekonstruktion des Körpers zu ermöglichen. Mathematisch wurde diese Aufgabe bereits 1917 durch Johann Radon gelöst. Mit der Entwicklung von immer leistungsfähigeren Rechenmaschinen, konnte die Computertomographie schließlich in die Praxis umgesetzt werden. Im Jahr 1979 erhielten Allan Cormack und Godfrey Hounsfield den Nobelpreis für ihre Forschung auf dem Gebiet der Röntgentomographie.

Ziel des Projektes ist die Entwicklung eines numerischen Rekonstruktionsverfahrens für die Computertomographie. Zunächst benötigen wir ein mathematisches Modell, um die Beziehung zwischen einem Objekt und den aufgenommenen Röntgenbildern zu verstehen. Wie viele Daten benötigen wir eigentlich, um das unbekannte Objekt eindeutig zu beschreiben? Für die Rekonstruktion müssen wir unser Modell anschließend diskretisieren, wodurch wir ein lineares Gleichungssystem mit unzähligen Gleichungen und Variablen erhalten. Da eine direkte Lösung aufgrund der enormen Dimension nicht mehr möglich ist, werden wir unterschiedliche effiziente Projektionsalgorithmen entwickeln, mit denen wir das fast Unsichtbare sichtbar machen können.

Projekt: Psychologie

Betreuer: Mag.Dr. Stephen Keeling

Die Wirkung von Meditation und ähnlichen Therapien

Therapien wie Meditation, Yoga und Progressive Muskelentspannung sind mittlerweile auch im Westen dafür bekannt, den Blutdruck und Cholesterinspiegel zu senken und das Wohlbefinden zu fördern. Systemwissenschaftlich sieht man, dass diese Therapien einen stabilisierenden Einfluss gegenüber den störenden Wellen des täglichen Lebens haben. Sie führen dazu, dass ein natürlicher Rhythmus entsteht. Eine dauerhafte Wirkung wird durch die sogenannte Neuroplastizität der Nervenzellen im Gehirn ermöglicht. In diesem Projekt werden wir die Fortpflanzung von Wellen verstehen und simulieren. Des Weiteren werden wir Wellenformen für verschiedene Phänomene entstehen lassen und nicht harmonische Muster durch ein Meditationsmodell dämpfen.


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