Woche der Modellierung mit Mathematik im JUFA Pöllau
9. - 15. Februar 2019
Projekt: Diskrete Geometrie
Numerische Friesmuster sind mathematische Objekte, die im Bereich
der Kombinatorik untersucht werden. Sie sind durch
zwei-dimensionale Anordnungen von Zahlen gegeben, die eine lokale
Gleichung erfüllen. Friese wurden in den 70er Jahren
untersucht. Vor kurzem fanden Mathematiker aus anderen Bereichen
sie interessant, als sie herausfanden, dass diese Muster auch in
abstrakteren Theorien vorkommen.
Am Ende der Woche wird sich die Teamleiterin mit
Softwareentwicklern in Verbindung setzen, um die Ergebnisse mit
den entsprechenden Forschern zu teilen. Dem Team wird die
Möglichkeit gegeben, den Code bei SAGE einzureichen. SAGE ist
ein Open-Source-Mathematik-Softwaresystem, und das Team wird der
offizieller Autor des eigenen Pakets sein.
Projekt: Biologie
Jede einzelne Termite ist dumm, aber zusammen baut ein Schwarm ein
komplexes Nest. Wie kann das funktionieren? Dieses 'emergente'
Phänomen zeigen, wie Gruppen intelligente Entscheidungen treffen können
unabhängig von der Intelligenz der Mitglieder. Die Gruppe formt so
einen 'Superorganismus'. Das Geheimnis: Selbstorganisation. Keine
zentrale Stelle gibt vor, wie gebaut werden soll, aber jede Termite
reagiert nach einfachen Regeln darauf, was die anderen in ihrer
Umgebung machen. Indirekte Kommunikation kann mittels Pheromonen
stattfinden. Zum Beispiel, baut eine Termite ein Stück des Nestes und
versetzt es mit Pheromonen, dass wiederum regt andere an, auch dort zu
bauen, was mehr Pheromone freisetzt. So entsteht ein positiver
Feedback-Mechanismus.
Wir werden den Nestbau von Termiten anhand einer
Multi-Agenten-Simulation simulieren, in welcher jede einzelne Termite
als autonomer Agent agiert. Alternativ können wir auch die
kontinuierliche Verteilung von Termiten, Pheromonen und Baumaterial
mittels Diffusionsgleichungen beschreiben.
Projekt: Automatisiertes Fahren
Betreuer: Florian Thaler, BSc
Strategien der automatisierten Fahrzeugsteuerung
Automatisiertes Fahren ist in aller Munde. Laut BmVIT wird
automatisiertes Fahren die Mobilität der Zukunft tiefgreifend
verändern. Automobilkonzerne beschäftigen sich schon seit geraumer
Zeit mit der Aufgabe Konzepte zu entwickeln, welche es Fahrzeugen
erlauben selbstständig, und ohne menschlichen, korrigierenden Eingriff
durch den Straßenverkehr zu navigieren. Worauf beruhen diese
Konzepte? Nach welchen Prinzipien können wir Menschen einer Maschine
beibringen Hindernisse zu erkennen, wahrzunehmen, diesen auszuweichen
und von einem Startpunkt ausgehend ein Ziel anzusteuern?
Hauptsächlich soll es uns darum gehen eine Methode namens 'Artificial
potential field algorithm' zu beleuchten, welche sich künstlich
erzeugter Potentialfelder und dem zweiten Newton' schen Gesetz
bedient. Mit diesem Verfahren soll es uns gelingen ein virtuelles
Fahrzeug sicher von einem vordefinierten Startpunkt in einer
virtuellen Umgebung aus statischen, als auch dynamischen, also sich
bewegenden, Hindernissen an einen Zielpunkt zu navigieren.
Darüberhinaus möchte ich gerne, sofern es die Zeit erlaubt, einen
Einblick in eine etwas raffiniertere und zur Zeit sehr moderne
Herangehensweise in diesem Zusammenhang gewähren. Diese zweite
Herangehensweise bedient sich Prinzipien des Machine Learning beruhend
auf dem Konzept des Reinforcement Learning.
Projekt: Medizinische Bildgebung
Betreuer: Dr. Robert Beinert, BSc MSc
Das Unsichtbare sichtbar machen: Algebraische Rekonstruktionstechniken in der Computertomographie
Wie können wir das Innerer eines Körpers betrachten ohne ihn zu
zerstören? Gerade in der Medizin stellt sich diese Frage, um Patienten
möglichst schonend zu untersuchen oder um Operationen exakt zu
planen. Einen ersten Schritt in diese Richtung unternahm der Physiker
Wilhelm Conrad Röntgen mit der nach ihm benannten Röntgendiagnostik,
wobei das zu untersuchende Objekt von einer Röntgenquelle
durchleuchtet und auf einem Röntgenfilm abgebildet wird. Hierbei
entsteht ein Schattenriss, wobei sich hintereinander liegende
Teilobjekte überlagern, was die Interpretation von Röntgenbildern
erschwert.
Die Grundidee hinter der Computertomographie ist die Verwendung
zusätzlicher Röntgenbilder, aufgenommen aus unterschiedlichen
Richtungen, um einen zweidimensionalen Schnitt mit feinen Details oder
eine dreidimensionale Rekonstruktion des Körpers zu
ermöglichen. Mathematisch wurde diese Aufgabe bereits 1917 durch
Johann Radon gelöst. Mit der Entwicklung von immer leistungsfähigeren
Rechenmaschinen, konnte die Computertomographie schließlich in die
Praxis umgesetzt werden. Im Jahr 1979 erhielten Allan Cormack und
Godfrey Hounsfield den Nobelpreis für ihre Forschung auf dem Gebiet
der Röntgentomographie.
Ziel des Projektes ist die Entwicklung eines numerischen
Rekonstruktionsverfahrens für die Computertomographie. Zunächst
benötigen wir ein mathematisches Modell, um die Beziehung zwischen
einem Objekt und den aufgenommenen Röntgenbildern zu verstehen. Wie
viele Daten benötigen wir eigentlich, um das unbekannte Objekt
eindeutig zu beschreiben? Für die Rekonstruktion müssen wir unser
Modell anschließend diskretisieren, wodurch wir ein lineares
Gleichungssystem mit unzähligen Gleichungen und Variablen erhalten. Da
eine direkte Lösung aufgrund der enormen Dimension nicht mehr möglich
ist, werden wir unterschiedliche effiziente Projektionsalgorithmen
entwickeln, mit denen wir das fast Unsichtbare sichtbar machen können.
Projekt: Psychologie
Betreuer: Mag.Dr. Stephen Keeling
Die Wirkung von Meditation und ähnlichen Therapien
Therapien wie Meditation, Yoga und Progressive Muskelentspannung sind
mittlerweile auch im Westen dafür bekannt, den Blutdruck und
Cholesterinspiegel zu senken und das Wohlbefinden zu
fördern. Systemwissenschaftlich sieht man, dass diese Therapien einen
stabilisierenden Einfluss gegenüber den störenden Wellen des täglichen
Lebens haben. Sie führen dazu, dass ein natürlicher Rhythmus
entsteht. Eine dauerhafte Wirkung wird durch die sogenannte
Neuroplastizität der Nervenzellen im Gehirn ermöglicht. In diesem
Projekt werden wir die Fortpflanzung von Wellen verstehen und
simulieren. Des Weiteren werden wir Wellenformen für verschiedene
Phänomene entstehen lassen und nicht harmonische Muster durch ein
Meditationsmodell dämpfen.
