5.2.1 Das serielle Verfahren

Next: 5.2.2 Der parallele GMRES Up: 5.2 Das GMRES-Verfahren Previous: 5.2 Das GMRES-Verfahren

5.2.1 Das serielle Verfahren

Zur Auflösung linearer Gleichungssysteme mit nichtsymmetrischer Matrix

existiert die General Conjugate Residuals Methode. Ist die Matrix darüber hinaus auch noch nicht positiv definit (d.h. $(K\underline{v},\underline{v})_{L_2} \not > 0$ ), existiert ein ganzes Spektrum von Iterationsverfahren (GMRES, QMR, Bi-cg, Bi-cgstab).
Wir betrachten das GMRES-Verfahren welches auf dem Arnoldi-Verfahren (einer Verallgemeinerung der Lanczos-Methode) basiert.
$\begin{algorithmus}% latex2html id marker 15117 [H] \caption{Serieller GMRES mit... ...}^0 + \sum\limits_{i=1}^k z_i\cdot \underline{w}^j \end{array}$\end{algorithmus}$
Da die Anzahl der zu speichernden Vektoren $\underline{w}^k$ und die Größe der Matrix $H=\{h_{i,j}\}_{i,j=\overline{1,k} \makebox[0pt]{}}$ mit der Anzahl der Schleifendurchläufe zunimmt, könnenbeim GMRES Speicherüberläufe auftreten. Zu deren Verhinderung bricht man die REPEAT-Schleife nach

Durchläufen ab und startet mit der erhalten Lösung $\underline{u}^m$ neu. Dieser GMRES(m) kann allerdings instabil werden.

Zur Vorkonditionierungsproblematik siehe Abschnitt 5.8.

Gundolf Haase
1998-12-22