5.8.2 Typ-II Vorkonditionierer

Möchte man eine Typ-II Vorkonditionierungsmatrix ${\ensuremath{\color{green} {\sf C}} }^{-1} = \sum\limits_{i=1}^p\, A_i^T {\ensuremath{\color{green} {\sf C}} }_i^{-1} A_i$ benutzen ist eine zweifache Vektortypumwandlung notwendig (Abschnitt 4.3.1). Deshalb sieht der Vorkonditionierungsschritt wie folgt aus :

$$\underline{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{w} } }} \;=\;... ...{{\ensuremath{\color{green} {\sf r}} }}_j \right) \enspace .$$ (5.11)

Die Matrix  ist nicht assembliert und daher stellen die Teilmatrizen  ${\ensuremath{\color{green} {\sf K}} }_i$ eine PDE 2. Ordnung in $\Omega _i$ mit homogenen Neumann Randbedingungen an den inneren Rändern  $\partial\Omega_i\setminus\partial\Omega$ dar. Für den Laplaceoperator kann dies zu einer singulären Matrix  ${\ensuremath{\color{green} {\sf K}} }_i$ führen !

Andererseits muß  ${\ensuremath{\color{green} {\sf C}} }_i$ nicht auf die gleiche Weise gewählt werden. Eine Möglichkeit besteht in der Akkumulation der Steifigkeitsmatrix  ${\ensuremath{\color{green} {\sf K}} }$ und der Wahl ${\ensuremath{\color{green} {\sf C}} }_i = {\ensuremath{\color{red} \mathfrak{K} } }_i$. Der lokale Vorkonditionierer  ${\ensuremath{\color{green} {\sf C}} }_i$ repräsentiert eine PDE 2. Ordnung im Gebiet  $\widetilde{\Omega}_i$ mit homogenen Dirichlet Randbedingungen, wobei  $\widetilde{\Omega}_i$ das Gebiet $\Omega _i$ vergrößert um die nächste Schicht von Elementen darstellt. Damit ist dieser Vorkonditionierer vom überlappenden Typ, siehe [SBG96].