INSTITUT FÜR MATHEMATIK
UND WISSENSCHAFTLICHES RECHNEN
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Problemstellungen


Woche der Modellierung mit Mathematik im JUFA Pöllau
7. - 13. Februar 2015


Projekt: Inverse Probleme

Betreuer: Michael Kniely, BSc BSc MSc

Shape From Shading --- Vom Schattenbild zur Oberfläche

Inverse Probleme tauchen in den verschiedensten Bereichen der angewandten Mathematik auf. Typischerweise hat man es dabei mit einem mathematischen Modell zu tun, das eine Menge von Input-Parametern X auf eine Menge von Output-Parametern Y abbildet. Die Aufgabe bei einem inversen Problem ist es von gegebenen Output-Parametern Y auf die verursachenden Input-Parameter X zu schließen.

Ein Beispiel für ein inverses Problem ist das Shape-From-Shading-Problem, bei dem das Schattenbild (Y) einer Oberfläche gegeben ist und die Oberfläche selbst (X) gesucht ist. Im Allgemeinen ist es natürlich nicht möglich X einfach mit einer Formel aus Y zu berechnen, sodass man auf numerische Näherungs-lösungen angewiesen ist. In diesem Projekt werden wir triangulierte Oberflächen betrachten, die aus einer bestimmten Zahl an Dreiecken und Knotenpunkten bestehen. In einem ersten Schritt werden wir das Shape-From-Shading-Problem als ein Minimierungsproblem für eine reelle Funktion formulieren. Mittels klassischer Optimierungsverfahren (Verfahren des steilsten Abstiegs) werden wir versuchen solche Positionen für die Knotenpunkte zu finden, sodass die triangulierte Oberfläche möglichst gut zum gegebenen Schattenbild passt.

Abgesehen von relativ einfachen bzw. synthetisch generierten Oberflächen kann man schließlich versuchen komlexere bzw. alltägliche Strukturen anhand ihres Schattenbildes zu rekonstruieren. Falls am Ende der Woche noch Zeit bleibt, können wir den Algorithmus auch noch etwas verbessern --- indem etwa verschiedene Gittergrößen für den Rekonstruktionsprozess verwendet werden. Da die erhaltene Oberfläche nur eine Näherungslösung darstellt, kann man auch versuchen mittels passender Fehlerfunktionale die Abweichung zur tatsächlichen Oberfläche bzw. die Qualität der Rekonstruktion zu quantifizieren.

Projekt: Ingenieurtechnik

Betreuer: Dipl.-Math.techn. Dr. Tobias Breiten

Wie(so) funktioniert Segway fahren?

Über die letzten Jahre ist der Segway Personal Transporter zu einem immer beliebteren Fortbewegungsmittel aufgestiegen. Gerade im Freizeitbereich, zum Beispiel bei touristischen Stadtführungen, erfährt er besondere Beachtung. Ganz vereinfacht dargestellt, funktioniert die Steuerung eines Segway über Körperbewegungen der beförderten Person. Aber wieso fallen wir dabei eigentlich nicht um? Und was hat das mit Einradfahren und Zirkusakrobatik zu tun?

Mit diesen und vielen ähnlichen Fragen beschäftigt sich die Ingenieurtechnik, genauer gesagt, die Regelungstechnik. Unter dem Stichwort 'inverses Pendel' lassen sich viele der vorigen Fragestellungen zusammenfassen und bilden dabei ein grundlegendes Problem der mathematischen Systemtheorie. In diesem Projekt wollen wir die Physik des Segway näher untersuchen. Dafür müssen wir zunächst ein (vereinfachtes) Modell erstellen, dass es uns erlaubt, die Dynamik des Systems am Computer zu simulieren. Anschließend beschäftigen wir uns mit sogenannten (in-)stabilen Ruhelagen und versuchen Wege zu finden, diese Ruhelagen automatisiert anzusteuern. Den zentralen mathematischen Baustein bilden hierbei Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

Projekt: Computergrafik

Betreuer: Dr. Laurent Pfeiffer

Voraussage einer Beobachtung durch Strahlenverfolgung

Seit 50 Jahren befasst sich die Computergraphik, ein Teilgebiet zwischen Informatik und angewandter Mathematik, mit der Erzeugung von immer realistischeren Bildern, zum Beispiel im Dienste der Kino- und Videospielindustrie. Der Strahlenverfolgungs-Algorithmus ist eines der ersten entwickelten Verfahren für Bildsynthese; es erlaubt Gegenstände darzustellen, die mathematisch beschrieben werden können. Obwohl es viele Berechnungen benötigt, ist es relativ einfach zu programmieren, da es auf grundlegenden Prinzipien der Optik basiert.

In diesem Projekt wollen wir den Strahlenverfolgungs-Algorithmus studieren und uns dabei auch mit den folgenden Fragen beschäftigen: wie kann man eine beliebiege Oberfläche mit mathematischen Werkzeugen beschreiben? Wie kann man ein besonderes Material, wie Glas, Wasser, oder Holz modellieren, wie kann man eine glänzende, reflektierende, oder durchsichtige Oberfläche modellieren? Schließlich werden wir versuchen, dieses Verfahren zu beschleunigen.

Projekt: Dynamische Systeme

Betreuer: Dipl.-Math. Dr. Florian Kruse

Chaos und fraktale Geometrie

Dynamische Systeme modellieren zeitabhängige Prozesse, z.B. das Wachstum von Bakterien oder die Entwicklung des Weltklimas. Solche Prozesse können sehr geordnet ablaufen oder ohne erkennbare Ordnung. Wie lassen sich scheinbar chaotische Prozesse mathematisch beschreiben? Die überraschende Antwort lautet, dass dies mit recht einfachen Mitteln möglich ist.

Wir werden verschiedene dynamische Systeme untersuchen und mit Hilfe des Computers anschaulich darstellen. Dabei stoßen wir auf komplizierte geometrische Strukturen, die Fraktale genannt werden. Das Hauptziel dieses Projekts besteht darin, eines der berühmtesten und schönsten Fraktale zu untersuchen und am Computer zu visualisieren.

Auf dem Weg dorthin begegnen wir ein paar sehr wichtigen mathematischen Ideen. Jede dieser Ideen bietet die Möglichkeit zu einer Vertiefung, wenn dies von den Projektteilnehmern gewünscht ist. Beispielsweise könnten wir uns mit der Kreiszahl π beschäftigen.

Projekt: Sozialwissenschaften

Betreuer: Mag.Dr. Stephen Keeling

Optimierung des Verkehrsflusses

Wer mit dem Auto fährt, kennt Staus, auf der Autobahn und in der Stadt. Manchmal erlebt man einen Stau, ohne einen bestimmten Grund dafür zu erkennen! Man glaubt, es müsste möglich sein, den Verkehrsfluss besser zu planen. Bei diesem Projekt hat man die Gelegenheit, diese Intuition zu testen. Der Verkehrsfluss wird modelliert; beeinflussende Faktoren werden untersucht, um die wichtigsten zu identifizieren. Anhand dieser Ergebnisse wird versucht, den Fluss zu steuern und ihn bezüglich gewisser Kriterien zu optimieren.

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