Woche der Modellierung mit Mathematik im JUFA Pöllau,
8. - 14. Februar 2014
Projekt: Akustik
Warum erzeugt eine Gitarrensaite einen Ton und kein Geräusch? Wovon hängt
die Tonhöhe einer Saite ab? Was ist die Klangfarbe eines Tones und wie kann
man sie beeinflussen? Warum erzeugt ein Blasinstrument einen Ton wie eine
Saite? Warum kann eine Klarinette wesentlich tiefer spielen als eine Oboe,
obwohl beide Instrumente fast gleich lang sind? Wie groß sind die
Unterschiede zwischen der idealisierten Theorie und der Praxis?
Das Ziel des Projektes ist es diese Fragen zu beantworten und darüber hinaus
zu verstehen welche mathematische Strukturen bei der Klangerzeugung von
Instrumenten wesentlich sind und wie man das Tonspektrums von
Holzbalsinstrumenten numerisch simulieren kann.
Projekt: Ingenieurtechnik
Betreuer: Daniel Kraft, MSc MSc
Optimale Steuerung einer Heizung
Auch wenn es sich um ein sehr alltägliches Problem handelt, ist die
"optimale" Steuerung eines Heizungssystems für eine Wohnung oder ein
Haus mit mehreren Zimmern gar nicht so einfach. Wie muss zum Beispiel
die Einstellung der Heizkörper in unterschiedlichen Zimmern sein, damit
alle eine angenehme Temperatur erreichen, auch wenn nur in einem davon
ein Thermostat angebracht ist? Wie kann man ein "Pendeln" um die
Zieltemperatur herum verhindern, wenn sich der Thermostat periodisch
ein- und ausschaltet? Wie sieht es mit dem Energieverbrauch aus?
Um diese und ähnliche Fragen beantworten zu können, müssen wir zuerst
ein Modell für die Wärmeflüsse innerhalb eines Hauses zwischen
verschiedenen Zimmern sowie durch die Außenwände aufstellen. Danach
können wir damit simulieren, wie sich verschiedene Regelsysteme
auswirken, und wie sich die Temperatur sowie der Energieverbrauch
optimieren lassen. Die Temperaturverteilung innerhalb der Zimmer ist
dagegen nicht der Fokus dieses Projekts, kann aber optional einbezogen
werden, falls Interesse besteht.
Projekt: Optimale Steuerung
Betreuer: Dipl.-Math. Carl Philip Trautmann
Optimale Steuerung eines Chaser-Satelliten zur Weltraumschrottbeseitigung
Durch die Erforschung und kommerzielle Nutzung des erdnahen Weltraumes über
die letzten 50 Jahre sind eine nicht vernachlässigbare Menge an
Weltraumschrott entstanden, der die Erde umkreist. Dieser Schrott stellt eine
Bedrohung für Satelliten und die internationale Raumstation dar. Aus diesem
Grund haben die NASA und die ESA verschiedene Programme gestartet, die dieses
Problem untersuchen. Ein Teilaspekt dieser Forschung ist die Beseitigung eines
defekten Satelliten mit Hilfe eines Chaser-Satelliten, der an den defekten
Satelliten andockt. Beide zusammen verglühen dann kontrolliert in der
Erdatmosphäre. Dabei ist es besonders von Interesse die Triebwerke des
Chaser-Satelliten so zu steuern, dass das Docking-Manöver möglichst
schnell oder treibstoffminimal abläuft.
Das Ziel dieses Projektes ist die Modellierung und Berechnung eines solchen
optimalen Andock-Manövers. Dazu müssen zunächst die Bewegungen des
Chaser-Satelliten und des defekten Satelliten im Erdschwerefeld mit
Differentialgleichungen modelliert werden. Basierend auf diesen Gleichungen
kann ein Optimierungsproblem formuliert werden, welches das optimale
Docking-Manöver modelliert. Eine diskretisierte Version dieses
Optimierungsproblems kann mit Hilfe des Computers gelöst werden.
Das Projekt besteht aus folgenden Teilaspekten:
- Modelierung der Bewegung der Satelliten
- Formulierung des Optimalsteuerungsproblems
- Diskretisierung der Differentialgleichungen
- Implementierung des diskreten Optimierungsproblems in AMPL
Projekt: Digitale Bildverarbeitung
Die Übertragung von Informationen in digitaler Form spielt in unserer
heutigen Gesellschaft eine Schlüsselrolle. Staaten unternehmen große
Anstrengungen um die Verbreitung von Daten entweder zu verhindern oder
zu überwachen.
Ein sehr großer Teil der täglich über das Internet übertragenen
Datenmenge sind Bilddaten. Dieser Datenfluss bietet eine gute
Möglichkeit, um unbemerkt Informationen darin zu verstecken und so zu
übertragen. Das ist ein Aspekt der Steganographie, also der Wissenschaft
der verborgenen Datenübermittlung, mit dem wir uns beschäftigen werden.
Ein Ziel des Projektes ist es, eine Methode zu entwickeln, mit der wir
unbemerkt Informationen in Bildern und Videos verstecken und so
übertragen können.
Ein weiterer Aspekt ist die unbemerkte Markierung von Bildern und Filmen
als digitales Eigentum. Filmstudios können so beispielsweise Kinofilme
unbemerkt signieren und sich damit vor Raubkopien schützen. Dazu muss
man die Information im Kinofilm so verstecken, dass sie selbst dann noch
erhalten bleibt, wenn man den Film erneut mit einer Kamera von der
Leinwand aufnimmt. Das zu erreichen wäre ein zweites großes Ziel des
Projektes.
Projekt: Medizin
Netzhautriss und Netzhautablösung werden von AugenärztInnen durch eine
Cerclage Operation behandelt, wobei ein Gummiband am Äquator des
Augapfels angewendet wird, um das Auge zusammenzudrücken. Im
präoperativen Zustand (d.h. vor der Operation) ist das Augapfel ungefähr
kugelförmig mit einem normalen Augeninnendruck. Im intraoperativen Zustand
(d.h. während und sofort nach der Operation) ist der Augeninnendruck
erhöht, das Augeninnenvolumen bleibt gleich und das Augapfel ist
deformiert. Im postoperativen Zustand (d.h. spätestens eine Woche nach der
Operation) wird das Augeninnenvolumen durch Selbstregelung reduziert.
Infolgedessen wird der Augeninnendruck reduziert, und die Deformation des
Augapfels wird entsprechend entspannt. Wegen dieser Entspannung während der
postoperativen Phase, muss die Cerclage so angewendet werden, dass der
gezielte Zustand im Fliessgleichgewicht erreicht wird. Das Ziel dieses
Projektes ist, die Zustände des Augapfels während und nach der Cerclage
Operation vorauszusagen, um die Operationsplannung zu erleichtern.
