Woche der Modellierung mit Mathematik im JUFA Pöllau,
5. - 11. Februar 2012
Projekt: Sozialwissenschaften
Betreuer: Dr. Kristian Bredies
Modellierung des dynamischen Verhaltens von Fußgängern
In der modernen urbanen Welt gehören große, sich bewegende
Menschenmassen zum Alltag. Wir begegnen ihnen und sind Teil von ihnen - sei
es, ob wir eine belebte Fußgängerzone, am Wochenende ein Einkaufszentrum
durchqueren, ob wir ins Konzert beziehungsweise Stadion gehen oder eine Messe
besuchen. Obwohl jeder Mensch sich als Individuum anders verhält, folgt die
Bewegung von Fußgängern recht regelmäßigen Gesetzen und
organisiert sich häufig selbst in bestimmten Mustern. Die örtlichen
Begebenheiten haben dabei einen hohen Einfluss darauf, wie Menschenmassen sich
bewegen. So kann es an Engpässen, Kreuzungen oder Durchgängen zu
Verstopfungen kommen, was auch Gefahren in sich birgt. In den schlimmsten
Fällen, wenn es zum Beispiel zu beengt wird oder eine Notfallsituation
vorliegt, kommt es zur Massenpanik.
Mit diesem Hintergrund stellt sich die Frage, ob und wie man die örtlichen
Bedingungen so gestalten kann, dass Fußgängerströme sich möglichst
gut selbst organisieren. In diesem Zusammenhang ist es besonders wichtig zu
wissen, wie man sicherstellen kann, dass im Notfall eine Evakuierung
möglichst schnell und ohne Ausbruch einer Panik erfolgt. Ziel des Projekts
ist es daher einerseits, mathematische Modelle zu entwerfen, die die
grundlegende Bewegung von Fußgängern abbildet. Andererseits soll auch
anhand von Simulationen dieser Modelle getestet werden, wie sich gezielte
Gestaltung von Räumen oder Durchgängen auf Situationen wie Überfüllung
oder rasche Evakuierung auswirken.
Projekt: Sport und Spiel
Betreuer: Dr. Frank Heyde
Spielstärkeeinschätzung und Ergebnisvorhersage bei Paarvergleichen
Ranglisten und Ratingsysteme sind in der Welt des Sports und der
Spiele weit verbreitet. Prominenteste Beispiele sind hier die
Weltranglisten im Tennis und Fußball sowie das Elo-
Rating-System, dass bei Spielen wie Schach oder Go Anwendung
findet. Auch bei Online- Computerspielen werden häufig
Rating-Systeme verwendet, um dafür zu sorgen, dass möglichst
Spieler mit gleicher Stärke gegeneinander spielen.
Bei all diesen Sportarten und Spielen treten Spieler oder
Mannschaften paarweise gegeneinander an, wobei enteder einer
gewinnt oder das Spiel unentschieden endet. Auf Grundlage dieser
Ergebnisse sollen den einzelnen Teilnehmern Spielstärkewerte,
auch Ratingzahlen genannt, zugewiesen werden. Diese Ratingzahlen
sind in vielerlei Hinsicht nützlich. Einerseits kann man
dadurch die Top-Spieler oder -Mannschaften einer Sportart
identifizieren und andererseits auch die Entwicklung von
Spielstärken sowohl einzelner Spieler als auch insgesamt
innerhalb der Sportart über einen längeren Zeitraum
verfolgen. Ein weiterer Aspekt ist der Versuch, Geinnerwartungen
für anstehende Spiele aus den Ratingzahlen der beiden
Kontrahenten abzuleiten.
In diesem Projekt sollen Modelle entwickelt werden, mit Hilfe
derer man Ratingzahlen aus einem Datensatz von Ergebnissen
berechnen kann und anchließend Ergebnisvorhersagen aus diesen
Ratingzahlen ableitet. Die Güte der Vorhersagen soll anhand von
Testdatensätzen bewertet werden.
Projekt: Physik
Betreuer: Daniel Kraft, BSc BSc
Die Weltraumflüge des Jules Verne
Jules Verne ist ein Autor und Visionär, der mehr als 100 Jahre nach
seiner Zeit noch immer gern gelesen (und verfilmt) wird. Eine
Besonderheit seiner Bücher sind oft sehr genaue Beschreibungen
technischer und wissenschaftlicher Details, wie sie zu seiner Zeit
aktuell und bekannt waren. Manches davon ist weiterhin gültig, bei
Anderem sind inzwischen modernere Erkenntnisse bekannt.
In diesem Projekt geht es darum, besonders die Physik in zweien seiner
Bücher -- in denen es um Weltraumflüge geht -- genauer ins Auge zu
nehmen. Dabei sollen seine Behauptungen mit Modellen und modernem
Wissen überprüft und eventuell korrigiert werden. Es können sehr
unterschiedliche Themen behandelt werden, von Mechanik des
Sonnensystems über den Wärmehaushalt und die Atmosphäre von Planeten
bis hin zur mechanischen und thermodynamischen Beschreibung einer
Kanone. Neben der Modellierung und Simulation selbst ist es aber
sicher auch eine große Herausforderung, sich überhaupt zu überlegen,
was man denn aus den jeweils in den Büchern angegebenen Daten am
besten machen kann, und die Modelle dementsprechend zu entwerfen!
Projekt: Informatik
Betreuer: Mag. Stefan Fürtinger
Bildverarbeitung mit neuronalen Netzen
Viele der bemerkenswertesten Fähigkeiten des Menschen basieren auf
erlernten Verhaltensmustern, die von uns scheinbar ohne jede Mühe
tagtäglich angewendet werden. Will man im Supermarkt einen Apfel und
eine Birne kaufen, liegt die Schwierigkeit meist nicht darin, den Apfel
von der Birne unterscheiden zu können. Die Preise der beiden Produkte
korrekt zu addieren macht meist mehr Mühe. Für einen Computer hingegen
stellt sich die Situation umgekehrt dar: beliebig komplexe
Rechenoperationen sind kein Problem. Die Klassifizierung von Äpfeln und
Birnen hingegen stellt sich als Herausforderung dar, da sich dieses
Problem nur äußerst schwierig als eindeutige Handlungsvorschrift
bestehend aus endlich vielen Rechenoperationen formulieren lässt.
Lässt sich das Problem nicht mit der Sprache des Computers lösen, so
kann man vielleicht dem Computer die Strategie der Natur beibringen:
dies ist die Idee hinter künstlichen neuronalen Netzen. Künstliche
neuronale Netze bestehen aus einfachen Rechenelementen, deren Struktur
und Funktionsweise den biologischen Neuronen des menschlichen Gehirns
nachgebildet sind. Ähnlich wie im menschlichen Gehirn beziehen neuronale
Netze am Computer ihre Leistungsfähigkeit aus dem Zusammenspiel vieler
künstlicher Neuronen, die untereinander Informationen austauschen. Wie
das menschliche Gehirn können künstliche neuronale Netze aus Beispielen
lernen und diese verallgemeinern.
Ausgehend vom McCulloch-Pitts Neuronenmodell (1943) werden wir
schrittweise komplexere Neuronen verwenden um diese schließlich in
mehrschichtige neuronale Netze am Computer zu integrieren. Ziel ist es,
dass die Teilnehmer am Ende der Woche ein Netz entwerfen, trainieren und
an Bilderkennungsbeispielen testen.
Projekt: Signalverarbeitung
Betreuer: Dr. Stephen Keeling
Trennung von Datenquellen in unkorrelierte und unabhängige Komponenten
Im sogennanten cocktail party problem werden verschiedene
Quellen (z.B. Stimmen, Musik, Rauschen, usw) von verschiedenen
Mikrofonen als gemischte Aufnahmen gemessen, und die Quellen
sollen nachträglich getrennt werden. Wie soll man das machen?
Welche Eigenschaften der Quellen ermöglichen ihre Trennung?
Man führt ein Experiment durch, um einen Prozeß zu
untersuchen, und sehr viele Größen werden gleichzeitig
gemessen, da es vorher nicht klar ist, welche Faktoren
tatsächlich eine wichtige Rolle im Prozeß spielen. Wie
deckt man die entscheidenden Größen nachträglich auf?
Welche Beziehung haben diese zu den gemessenen Daten?
Es gibt zahlreiche solche Probleme, in denen unterliegende
Quellen in komplexen Datenmengen zu finden sind. Damit eine
Trennung erfolgen kann, wird üblicherweise angenommen, dass die
gemischten Daten aus statistisch unkorrelierten oder
unabhängigen Quellen bestehen. Das Ziel dieses Projektes ist,
ein geeignetes statistisches Werkzeug kennenzulernen und es zur
Lösung ausgewählter Probleme anzuwenden. Als erste Anwendung
soll das cocktail party problem gelöst werden. Weitere
Anwendungen in der Bildverarbeitung werden auch
angestrebt. (Tutorium)
