Problemstellungen

Woche der Modellierung mit Mathematik im JUFA Pöllau,
6. - 12. Februar 2011

Projekt: Signalanalyse

Betreuer: Dr. Peter Schöpf

Geschwindigkeits- und Entfernungsmessung mit Signalwellen

Ein Großteil der diesbezüglichen Überlegungen benötigt zwar nur wenig physikalisches Wissen, aber dafür gute Vorstellung von Bewegungsabläufen in verschiedenen Koordinatensystemen. Einiges lässt sich sehr gut mit GeoGebrea in Raum-Zeit-Diagrammen veranschaulichen und soll auch so durchgeführt werden. Nach einer minimalen Einführung in die Prinzipien der Entfernungs- und Geschwindigkeitsmessung sollten die Teilnehmer in der Lage sein, die Gleichungen für den Dopplereffekt sowohl für Schallwellen als auch für elektromagnetische Wellen selbst herzuleiten. Ebenso sollen sie die Galileitransformation und die Lorentztransformation (gestützt durch ganz wenige Hinweise) selbst herleiten. Dabei werden 2×2-Matrizen und deren Gebrauch erklärt. Damit ist der Teilbereich der Problemstellung abgedeckt, der keine Annahmen über die Wellennatur der Signale macht.

Erst die Einbeziehung der Wellennatur der Signale zwingt zu Betrachtungen von Wellenüberlagerungen, Frequenz- und Phasenänderungen, der Wahl geeigneter Signalfrequenzen und Wellenformen. In diesem Zusammenhang tritt das Problem der Herausfilterung des reflektierten Signals aus einem Rauschen auf. Da eine halbwegs realistische Behandlung des Rauschens schwierig ist, werden wir uns mathematisch auf den elementarsten Bereich der Fourieranalyse beschränken, nämlich auf trigonometrische Polynome (anstelle von Fourierreihen oder Fourierintegralen) und das Herausfiltern gewisser Frequenzen aus endlich viel superponierten harmonischen Wellen.

Mathematisch anspruchsvollere Teilprobleme können aber unter Heranziehung von Matlab oder Mathematica mit diskreter und Fast-Fourier-Analyse experimentell am Computer behandelt werden.

Projekt: Navigation

Betreuer: Dr. Kristian Bredies

Finden von optimalen Wegen in Umgebungen mit Hindernissen

In vielen Situationen ist man mit der Aufgabe konfrontiert, sich selbst oder einen Gegenstand möglichst schnell oder effizient an einen bestimmten Ort zu bringen. Auf Reisen zum Beispiel, wenn man sich fragt, welche Straßen man fahren muss, um zu einer bestimmten Adresse in einer fremden Stadt zu gelangen. Oder, man stellt sich vor, einen sperrigen Flügel unversehrt durch einen verwinkelten Raum transportieren zu müssen. Ist das Zimmer schlecht geschnitten, wird nicht vielleicht unmöglich sein; andernfalls möchte man wegen des großen Gewichts des Instruments beim Tragen auf keinen Fall einen Umweg machen. Die Notwendigkeit, optimale Wege zu finden tritt auch bei der Planung der Überquerung eines Bergkammes auf oder, vielleicht weniger alltäglich, wenn man aus einem Labyrinth herausfinden möchte.

Diese Beispiele beschreiben unterschiedliche Situationen, besitzen jedoch alle eine Gemeinsamkeit: die Frage nach dem Finden des besten Weges durch eine Umgebung mit Hindernissen. Ziel des Projektes ist es daher, diese Frage (und mögliche Antworten) mathematisch einheitlich zu modellieren sowie Lösungstrategien für die Behandlung des Problems zu entwickeln und am Computer umzusetzen.

Projekt: Dynamische Systeme

Betreuer: Dr. Georg Propst

Gibt es Zeit-diskrete Pumpen?

Es gibt nicht-lineare Zeit-kontinuierliche Pumpen, das sind Systeme, die bei periodischer Erregung in ein Nichtgleichgewicht konvergieren. Gibt es auch Zeit-diskrete Modelle die das tun? Nämlich

x_t+1 = F(x_t)+ p_t, t=0,1,2,3,... wobei p_t periodisch ist, und für die Mittelwerte x, p, gilt x ≠ F(x) + p. Wir könnten an Hand von Computer-Simulationen mit Ideen für das Modell F an die Fragestellung herangehen. Vielleicht lassen sich Klassen von (nicht-) pumpenden Modellen identifizieren. Wird (k)ein pumpendes Modell gefunden, könnte ein Beweis der (negativen oder) positiven Antwort überlegt werden.

Projekt: Informationstechnik

Betreuer: Dr. Christian Clason

Googles PageRank-Algorithmus

Ein Internet ohne Suchmaschinen wäre heutzutage nicht mehr vorstellbar. Dabei ist die enorme Arbeit, über eine Billion Webseiten nach Suchbegriffen abzusuchen nur ein Teil der Arbeit: Unter den ca. 9000 Seiten, die den Begriff "Modellierungswoche" enthalten, die richtige zu finden, stellt nicht nur eine Fleissaufgabe dar. Googles Erfolg liegt daher zu einem sehr grossen Teil im "PageRank"-Algorithmus, der diese Suchergebnisse nach Wichtigkeit sortiert (und natürlich an erster Stelle diese Seite präsentiert).

Ausgehend von einfachen Beispielen werden wir das mathematische Modell hinter diesem Algorithmus erkunden und verschiedene Verfeinerungen kennenlernen, die allfälligen Schwierigkeiten in der Praxis begegnen können. Am Ende werden Sie eine eigene Version des "PageRank" am Computer implementiert haben.

Projekt: Politikwissenschaft

Betreuer: Dr. Stephen Keeling

Entwicklung eines Wahlsystems

Es ist nicht unüblich, dass ein Bürger eine Kritik für seine Regierung hat. Implizit bei dieser Kritik ist üblicherweise der Glaube, dass ein Kurswechsel existiert, der dem Gemeinwohl besser dienen würde. Kann es sein, dass diese Einstellung fundamental fehlerhaft ist? Was ist das Gemeinwohl überhaupt? Wie gewichtet man die vielen Präferenzen der Bürger, um das Gemeinwohl zu definieren? Und wenn das Gemeinwohl sinnvoll gemacht werden könnte, wie sollen die Präferenzen gemessen werden? Würden die Bürger ihre Präferenzen ehrlich bekanntgeben oder eher ein Wahlsystem manipulieren?

Nach dem Satz von Arrow (The Impossibility Theorem) ist es nicht möglich, die Präferenzen der Bürger in eine gemeinsame Präferenzenliste zu kombinieren, während natürliche Gerechtigkeitsbedingungen erfüllt werden. Trotzdem müssen Entscheidungen von einer demokratischen Regierung getroffen werden, die alle Bürger beeinflußen und einigermaßen repräsentieren sollen. Oder soll die Regierung den Satz von Arrow bereitwillig annehmen? Sie könnte einen Konsens dynamisch entstehen lassen, während die Bürger ihre Präferenzen durch ihre Käufe in einem freien Markt bekanntmachen. So ist die Politik in den USA von Spieltheoretikern gesteuert worden. Wenn ein Konsens dynamisch entstehen sollte, stellt sich die Frage ob die Dynamik tatsächlich zu einem stabilen Ergebnis führt und welche Beziehung dies zu den individuellen Präferenzen hätte.

Die Ziele des Projektes sind folgende. Für eine bevorstehende Gruppenentscheidung soll eine Zielfunktion definiert werden, mit der berechnet werden kann, wie erfolgreich ein Wahlergebnis gegenüber anderen ist. Dann sollen eigene Wahlsysteme untersucht werden. Ein System kann aus einem Wahlgang oder aus mehreren wiederholten Wahlgängen bestehen. Es soll für ein System bestimmt werden, welche Bedingungen des Satzes von Arrow verletzt werden. Wenn das System aus mehreren wiederholten Wahlgängen besteht, soll bestimmt werden, ob das System tatsächlich zu einem stabilen Ergebnis führt. Man soll auch überlegen, wie die Gruppenmitglieder das System manipulieren können. Schliesslich soll mit der eigenen Zielfunktion berechnet werden, welche der eigenen Ergebnisse sind erfolgreicher als andere.