INSTITUT FÜR MATHEMATIK
UND WISSENSCHAFTLICHES RECHNEN
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Problemstellungen


Woche der Modellierung mit Mathematik im JUFA Pöllau,
7. - 13. Februar 2010


Projekt: Physiologie

Betreuer: Dr. Jerry Batzel

Kompartimentanalyse für Hämodialyse

Obwohl Hämodialyse eine ziemlich standard medizinische Behandlung geworden ist, ist sie sehr kompliziert und bei weitem kein Ersatz für eine menschliche Niere. Drei Komplikationen für Dialysepatienten werden im Projekt angesprochen. Erstens können Toxine sich zwischen Behandlungen im Körper aufbauen. Zweitens kann das Blutvolumen von Hämatokritwerten falsch geschätzt werden. Drittens leiden diese Patienten oft unter Anämie.

Probleme des Stofftransportes werden üblicherweise untersucht, indem man den Körper in Bereiche - oder Kompartimente - teilt, die Substanzen austauschen. Die obigen Komplikationen können durch Einführung einer gewissen Anzahl von Kompartimenten erforscht werden. Das erste Ziel des Projektes ist, ein solches Kompartimentenmodell zu erstellen. Zusätzlich soll bestimmt werden, wie viele Kompartimente notwendig sind, um die Physiologie zu beschreiben, und ob die entsprechenden Parameter schätzbar sind.

Projekt: Hydrostatik

Betreuer: Dr. Peter Schöpf

Statische Schwimmlagen von Balken mit rechteckigem Querschnitt

Ein zum Teil in Wasser befindlicher Körper nimmt eine statische Schwimmlage ein, wenn er (zumindest theoretisch!) in dieser Lage beliebig lang in Ruhe verharren kann. Schon Archimedes untersuchte solche Schwimmlagen von senkrecht zur Drehachse abgeschnittenen Drehparaboloiden. Später widmete sich Huygens den Schwimmlagen von Balken. Dabei erweisen sich besonders die stabilen Schwimmlagen (soferne solche vorhanden sind) als für die Schifffahrt interessant. Die einfachsten Balken, deren statische Schwimmlagen mit Methoden der Schulmathematik bestimmt und klassifiziert werden können, haben rechteckigen Querschnitt und sind homogen von konstanter Massendichte ρ, wobei 0 g/cm³ ≤ ρ ≤ ½ g/cm³.

Der Einfachheit wegen werden wir nur solche Schwimmlagen betrachten, wo die Längsrichtung des Balkens parallel zur Wasseroberfläche ist.

Didaktisch wertvoll an dieser Problemstellung ist, dass es zwei ganz verschiedene Lösungswege gibt - einen rein geometrischen mit Hilfe der Geometriesoftware GeoGebra und einen rechnerischen unter Einsatz von Elementargeometrie und Differenzialrechnung.

Nach Möglichkeit sollten beide Lösungswege beschritten werden. Nur im Vergleich erkennt man die Vor- und Nachteile der jeweiligen Lösungsmethode.

Auch wird die Lösung des Problems etwas Überraschendes liefern, das nur ganz selten an schwimmenden Balken in der Natur beobachtet wird.

Projekt: Mechanik

Betreuer: Dr. Bernd Thaller

Domino Effekt

Der Domino-Effekt ist eine Art Kettenreaktion, eine Abfolge von Ereignissen, bei der durch jedes einzelne Ereignis ein ähnliches weiteres Ereignis ausgelöst wird. Mit den Steinen des Domino Spiels kann man diesen Effekt am besten demonstrieren. Dabei werden die Steine hochkant so in einer Reihe aufgestellt, dass beim Umfallen eines Steines der nächste ebenfalls umgeworfen wird. Dies setzt sich fort, bis alle Steine umgefallen sind.

Offenbar ist dieser Vorgang faszinierend anzusehen. Alljährlich begeistert der Domino Day zahlreiche Fernsehzuschauer. Dabei wird jedesmal versucht, möglichst viele Steine effektvoll für einen neuen Weltrekord zu arrangieren. So betrug 2009 die Anzahl der Steine bereits fast fünf Millionen.

Am 9.11.2009 wurde der 20. Jahrestag des Falls der Berliner Mauer gefeiert, indem eine eineinhalb Kilometer lange Reihe von ca 1000 Riesendominosteinen umgeworfen wurde, die entlang des ehemaligen Mauerverlaufs aufgestellt waren.

Uns interessiert hier die Mathematik und Mechanik des Dominoeffekts. Wie schnell bewegt sich die "Umfallwelle" vorwärts? Kann man, mit einem kleinen Stein beginnend, am Schluß ein Hochhaus umwerfen? Wie steil kann eine Dominoreihe bergauf laufen? Fragen über Fragen, die auf eine genauere Analyse warten.

Projekt: Ökologie

Betreuer: Dr. Georg Propst

Nachhaltige Forstwirtschaft

Der Begriff Nachhaltigkeit wurde erstmals in der Forstwirtschaft verwendet und bezeichnet eine Strategie der Entnahme/Nichtentnahme und Aufforstung, die den Bestand nicht gefährdet, sondern stabil lässt oder vermehrt. Diese Strategien könnten unter Umständen auch aktuelle Entwicklungen berücksichtigen, etwa Sturmschäden, Krankheitsbefall oder den Klimawandel.

In diesem Projekt werden mathematische Modelle entworfen, die die zeitliche Entwicklung eines bewirtschafteten Waldbestandes beschreiben und simulieren. Es ist eine breite Pallette von Modellen denkbar, etwa räumlich homogen oder strukturiert, mit gleichbleibenden oder altersabhängigen Wachstumsraten, mit Zufallselementen, saisonalen Effekten, Ausbreitung von Schädlingen, etc. Ferner kann oder soll im Bestand nicht nur eine Baumart vertreten sein, sondern mehrere verschiedene mit unterschiedlichen Wachstumsraten und Verkaufswerten.

An Hand der Modelle können mögliche ökologische und ökonomische Auswirkungen verschiedener Entnahme- und Aufforstungs-Strategien untersucht werden. Die dabei auftretenden Fragestellungen und Methoden werden voraussichtlich numerisch/experimentellen Charakter haben, je nach Interessen und Vorlieben der Teilnehmer.

Projekt: Bildverarbeitung

Betreuer: Dr. Stephen Keeling

Segmentierung von Bildern

Das menschliche visuelle System erkennt Objekte im Sehfeld trotz verrauschter Interferenz und nicht gleichmäßiger Beleuchtung erstaunlicherweise gut. Wenn aber viele Objekte in einem Bild oder in mehreren Bildern im Detail identifiziert werden müssen, ist es nicht mehr praktisch, dass diese manuell bearbeitet werden. Zum Beispiel, wie könnte man die Organe in einer großen Zeitserie von Magnetresonanzbildern trennen und individuell untersuchen? Wenn eine hohe zeitliche Auflösung notwendig ist, ist das Signal-Rauschen-Verhältnis entsprechend niedrig. Wenn der Kontrast oder die magnetische Erregung nicht gleichmäßig sind, ist die Intensitätsverteilung entsprechend irregulär. Um die interessierenden Objekte automatisch zu identifizieren, muss man dem Computer ein Rezept geben, wobei eine gegebene Menge von Intensitäten in Teilmengen oder Segmente geteilt wird. Das Ziel des Projektes ist, ein Verfahren zur Segmentierung von realistischen Bildern zu entwickeln und dieses Verfahren am Computer zu implementieren.


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