Woche der Modellierung mit Mathematik im JUFA Pöllau,
7. - 13. Februar 2010
Projekt: Physiologie
Betreuer: Dr. Jerry Batzel
Kompartimentanalyse für Hämodialyse
Obwohl Hämodialyse eine ziemlich standard medizinische Behandlung
geworden ist, ist sie sehr kompliziert und bei weitem kein Ersatz
für eine menschliche Niere. Drei Komplikationen für
Dialysepatienten werden im Projekt angesprochen. Erstens können Toxine
sich zwischen Behandlungen im Körper aufbauen. Zweitens kann das
Blutvolumen von Hämatokritwerten falsch geschätzt werden. Drittens
leiden diese Patienten oft unter Anämie.
Probleme des Stofftransportes werden üblicherweise untersucht,
indem man den Körper in Bereiche - oder Kompartimente - teilt, die Substanzen austauschen.
Die obigen Komplikationen können durch Einführung einer
gewissen Anzahl von Kompartimenten erforscht werden. Das erste Ziel des
Projektes ist, ein solches Kompartimentenmodell zu erstellen.
Zusätzlich soll bestimmt werden, wie viele Kompartimente notwendig sind,
um die Physiologie zu beschreiben,
und ob die entsprechenden Parameter schätzbar sind.
Projekt: Hydrostatik
Betreuer: Dr. Peter Schöpf
Statische Schwimmlagen von Balken mit rechteckigem Querschnitt
Ein zum Teil in Wasser befindlicher Körper nimmt eine statische
Schwimmlage ein, wenn er (zumindest theoretisch!) in dieser Lage
beliebig lang in Ruhe verharren kann. Schon Archimedes untersuchte
solche Schwimmlagen von senkrecht zur Drehachse abgeschnittenen
Drehparaboloiden. Später widmete sich Huygens den Schwimmlagen von
Balken. Dabei erweisen sich besonders die stabilen Schwimmlagen
(soferne solche vorhanden sind) als für die Schifffahrt
interessant. Die einfachsten Balken, deren statische Schwimmlagen mit
Methoden der Schulmathematik bestimmt und klassifiziert werden
können, haben rechteckigen Querschnitt und sind homogen von
konstanter Massendichte ρ, wobei 0 g/cm³ ≤ ρ
≤ ½ g/cm³.
Der Einfachheit wegen werden wir nur solche Schwimmlagen betrachten,
wo die Längsrichtung des Balkens parallel zur Wasseroberfläche ist.
Didaktisch wertvoll an dieser Problemstellung ist, dass es zwei ganz
verschiedene Lösungswege gibt - einen rein geometrischen mit
Hilfe der Geometriesoftware GeoGebra und einen
rechnerischen unter Einsatz von Elementargeometrie und
Differenzialrechnung.
Nach Möglichkeit sollten beide Lösungswege beschritten werden. Nur
im Vergleich erkennt man die Vor- und Nachteile der jeweiligen
Lösungsmethode.
Auch wird die Lösung des Problems etwas Überraschendes liefern, das
nur ganz selten an schwimmenden Balken in der Natur beobachtet wird.
Projekt: Mechanik
Der Domino-Effekt ist eine Art Kettenreaktion, eine Abfolge von
Ereignissen, bei der durch jedes einzelne Ereignis ein ähnliches
weiteres Ereignis ausgelöst wird. Mit den Steinen des Domino Spiels
kann man diesen Effekt am besten demonstrieren. Dabei werden die
Steine hochkant so in einer Reihe aufgestellt, dass beim Umfallen
eines Steines der nächste ebenfalls umgeworfen wird. Dies setzt sich
fort, bis alle Steine umgefallen sind.
Offenbar ist dieser Vorgang faszinierend anzusehen. Alljährlich
begeistert der Domino Day zahlreiche Fernsehzuschauer. Dabei wird
jedesmal versucht, möglichst viele Steine effektvoll für einen neuen
Weltrekord zu arrangieren. So betrug 2009 die Anzahl der Steine
bereits fast fünf Millionen.
Am 9.11.2009 wurde der 20. Jahrestag des Falls der Berliner Mauer
gefeiert, indem eine eineinhalb Kilometer lange Reihe von ca 1000
Riesendominosteinen umgeworfen wurde, die entlang des ehemaligen
Mauerverlaufs aufgestellt waren.
Uns interessiert hier die Mathematik und Mechanik des
Dominoeffekts. Wie schnell bewegt sich die "Umfallwelle" vorwärts?
Kann man, mit einem kleinen Stein beginnend, am Schluß ein Hochhaus
umwerfen? Wie steil kann eine Dominoreihe bergauf laufen? Fragen über
Fragen, die auf eine genauere Analyse warten.
Projekt: Ökologie
Betreuer: Dr. Georg Propst
Nachhaltige Forstwirtschaft
Der Begriff Nachhaltigkeit wurde erstmals in der Forstwirtschaft
verwendet und bezeichnet eine Strategie der Entnahme/Nichtentnahme und
Aufforstung, die den Bestand nicht gefährdet, sondern stabil lässt
oder vermehrt. Diese Strategien könnten unter Umständen auch
aktuelle Entwicklungen berücksichtigen, etwa Sturmschäden,
Krankheitsbefall oder den Klimawandel.
In diesem Projekt werden mathematische Modelle entworfen, die die
zeitliche Entwicklung eines bewirtschafteten Waldbestandes
beschreiben und simulieren. Es ist eine breite Pallette von Modellen
denkbar, etwa räumlich homogen oder strukturiert, mit
gleichbleibenden oder altersabhängigen Wachstumsraten, mit
Zufallselementen, saisonalen Effekten, Ausbreitung von
Schädlingen, etc. Ferner kann oder soll im Bestand nicht nur eine
Baumart vertreten sein, sondern mehrere verschiedene mit
unterschiedlichen Wachstumsraten und Verkaufswerten.
An Hand der Modelle können mögliche ökologische und ökonomische
Auswirkungen verschiedener Entnahme- und Aufforstungs-Strategien
untersucht werden. Die dabei auftretenden Fragestellungen und Methoden
werden voraussichtlich numerisch/experimentellen Charakter haben, je
nach Interessen und Vorlieben der Teilnehmer.
Projekt: Bildverarbeitung
Das menschliche visuelle System erkennt Objekte im Sehfeld trotz
verrauschter Interferenz und nicht gleichmäßiger Beleuchtung
erstaunlicherweise gut. Wenn aber viele Objekte in einem Bild oder in
mehreren Bildern im Detail identifiziert werden müssen, ist es
nicht mehr praktisch, dass diese manuell bearbeitet werden. Zum
Beispiel, wie könnte man die Organe in einer großen Zeitserie
von Magnetresonanzbildern trennen und individuell untersuchen? Wenn
eine hohe zeitliche Auflösung notwendig ist, ist das
Signal-Rauschen-Verhältnis entsprechend niedrig. Wenn der Kontrast
oder die magnetische Erregung nicht gleichmäßig sind, ist die
Intensitätsverteilung entsprechend irregulär. Um die interessierenden
Objekte automatisch zu identifizieren, muss man dem Computer ein
Rezept geben, wobei eine gegebene Menge von Intensitäten in
Teilmengen oder Segmente geteilt wird. Das Ziel des Projektes ist,
ein Verfahren zur Segmentierung von realistischen Bildern zu
entwickeln und dieses Verfahren am Computer zu implementieren.
