Woche der Modellierung mit Mathematik im Schloss Seggau,
13. - 19. Januar 2008
Projekt: Sportwissenschaften
In vielen Sportarten werden Bälle verwendet. Die Eigenschaften der
Bälle sind dabei sehr unterschiedlich: es gibt große und kleine
Bälle, schwere und leichte. Manche Bälle sind sehr elastisch, wie
ein Tischtennisball, andere wiederum völlig unelastisch, wie ein
Hacky-Sack. Auch die Oberflächen können sehr variieren und somit
auch die Reibung mit dem Untergrund. In manchen Spielen erreichen die
Bälle eine sehr große Geschwindigkeit, wie zum Beispiel beim
Golf, in anderen nur eine kleine, wie bei Badminton.
Laut Physikbücher sollte bei einer Reflexion der Ausfallswinkel
gleich dem Einfallswinkel sein. Einfache Versuche zeigen aber, dass
das nur für "ideale Bälle" gilt, und auch nur, wenn sich die
Bälle nicht drehen. In der Realität ist das Ballverhalten
wesentlich komplizierter und manchmal sehr überraschend.
In diesem Projekt soll das Reflexionsverhalten von Bällen untersucht
werden. Wie hängt der Reflexionswinkel von der Rotation, der
Elastizität oder der Geschwindigkeit des Balles ab? Gibt es noch
weitere Einflussgrößen? Was passiert, wenn man einen rotierenden
Hartgummiball in eine Ecke wirft?
Projekt: Geometrische Optimierung
Betreuer: Prof. Peter Schöpf
Verlegung einer Pipeline mit minimalen Kosten
Die Minimierung von Herstellungskosten ist ein zentrales Problem in
der Wirtschaft.
Bei der Verlegung von Rohrleitungen durch verschiedene Geländearten,
wie z.B. Trockenland und Sumpfgebiet, sind die
Herstellungskosten pro Meter im Trockengebiet geringer als pro Meter
im Sumpfgebiet, wo man eigene Maschinen benötigt.
Ist in einer Landkarte ein Sumpfgebiet abgegrenzt gegen das
Trockengebiet dargestellt und sind A und B zwei Punkte im
Trockengebiet, so erhebt sich die Frage nach der billigsten
Rohrverbindung von A nach B.
Die Rohrleitung soll dabei aus geraden Rohrstücken mit einer
vorgegebenen Höchstzahl von dazwischenliegenden Rohrknien (beliebiger
Winkel) bestehen.
Bereits die Bestimmung kostenminimaler Rohrleitungen mit höchstens
einem Knie bietet bei den allereinfachsten Sumpfgebieten mit
Rechtecks- oder Trapezgestalt überraschende Schwierigkeiten. Die
schrittweise Entdeckung, Formulierung und Überwindung dieser
Schwierigkeiten ist das Hauptanliegen der Aufgabenstellungen zu diesem
Thema.
Projekt: Mechanik - Raumfahrt
"Ich bin vom Konzept eines Aufzugs in den Weltraum fasziniert, seit
ich das erstemal vor mehr als drei Jahrzehnten davon gehört habe. Es
ist eine brilliante Idee die die Raumfahrt völlig revolutionieren
kann und ich habe ein Buch darüber geschrieben - The Fountains of
Paradise (1978)." So schreibt der bekannte Schriftsteller Arthur C.
Clarke über eine Idee, nach der ein Lift an einem Kabel montiert
wird, das einen Punkt des Äquators mit einem geostationären
Satelliten verbindet.
Ist diese Idee inzwischen als Hirngespinst abgetan worden? Mitnichten
- die NASA finanziert groß angelegte Machbarkeitsstudien, Firmen
in den USA arbeiten bereits an der Konstruktion der Aufzugskabinen,
und seit neuestem ist auch ein Material bekannt, das zumindest
theoretisch den Anforderungen gewachsen wäre, die an so ein Kabel zu
stellen sind (Kohlenstoffnanoröhren).
In diesem Projekt untersuchen wir, was hinter dieser Idee steckt und
versuchen einige Fragen zu beantworten, wie zum Beispiel: Kann das
überhaupt funktionieren? Wieviel Energie braucht man, um eine
Aufzugskabine in den geostationären Orbit zu befördern? Welche
Spannungen würden im Liftkabel auftreten? Was passiert, wenn man aus
der Liftkabine fällt?
Auf die schnippische Frage, wann denn nach seiner Meinung so ein
Projekt verwirklicht werden würde, antwortete Arthur C. Clarke
ebenso schnippisch: "Ungefähr 50 Jahre nachdem alle aufgehört
haben, darüber zu lachen."
Projekt: Kryptographie
Betreuer: Prof. Günter Lettl
Ich bin ICH! - Bist Du wirklich DU?
In vielen Situationen des Alltags muss man seine Identität
nachweisen bzw. beweisen, dass man zu einer bestimmten Tätigkeit
berechtigt ist:
Ich muss nachweisen können, dass ich rechtmäßig mit einer
Bankomatkarte bezahle, vom Sparbuch oder Konto einen Geldbetrag
abheben darf, einen besonders gesicherten Teil eines Firmengeländes
betreten darf, einen Computer benützen darf oder ein Handy mit einer
gültigen SIM-Karte verwende.
Das Fachwort für diesen Problemkreis der Informationswissenschaft
heißt "Identifikation" oder auch
"Benutzerauthentifikation".
In diesem Projekt wollen wir unterschiedliche Modelle entwickeln und
untersuchen, welche für derartige Problemstellungen angewendet
werden können. Insbesondere wollen wir die Sicherheit ("Ist
die Bankomatkarte echt?" Aber auch: "Ist der Bankomat
echt?") bzw. Möglichkeiten zu Missbrauch analysieren. Gibt es
auch mathematische Modelle zur Überprüfung meiner Identität, bei
denen die überprüfende Instanz NICHTS von meinem Geheimnis
(Passwort, PIN-Code, ...) erfährt?
Projekt: Umwelt und Wirtschaft
Jede nicht erneuerbare Ressource wird bei ungehemmtem Verbrauch eines
Tages erschöpft. Auf Grund der Erfahrung mit dem eigenen Auto haben
viele Konsumenten die Vorstellung, dass Schwierigkeiten wegen der
Knappheit einer Ressource erst auftauchen, wenn die Ressourcenquelle
leer ist. Andererseits zeigen bereits vorhandene Daten, dass
die Produktion einer solchen Ressource kurz nach ihrer Entdeckung
leichter als kurz vor ihrer Erschöpfung ist. Deswegen sieht eine
Kurve der Gesamtproduktion typischerweise logistisch aus, und
eine Kurve der Produktionsrate sieht ungefähr Gaußsch
aus. Nach Erreichen der Produktionsspitze (peak), fällt das Angebot
trotz Nachfrage wegen ressourcenbedingter Grenzen. Die aktuellen
Daten weisen darauf hin, dass die Produktionsspitze beim
konventionellen Öl schon erreicht worden ist.
Dass Öl nicht mehr in der selben Weise verfügbar wie bisher ist,
hat eine besondere Bedeutung, weil die moderne Welt zu einem
Großteil ganz wesentlich von der Verfügbarkeit von Öl
abhängt. Der Prozentsatz im Energieverbrauch, der vom Öl gedeckt
wird, lässt sich heutzutage nicht leicht durch alternative
Energieträger ersetzen. Ausserdem verlangt das Ansteigen der
Komplexität (oder die Minderung von Entropie) der modernen Welt
gewisse Energie.
Obwohl eine wachsende Bevölkerung eine abnehmende Ressource
teilen muss, zeigen einfache Spiele wie das Gefangenendilemma, dass
Kooperation ein schwer erreichbares Ziel ist. Die vorhandene Energie
wird notwendigerweise effizienter eingesetzt werden müssen und
dementsprechend werden sich auch manche Lebensstile ändern.
Das Ziel des Projekts ist, diese Phänomäne von einfachen
Grundprinzipien ausgehend zu beleuchten und ihre grundlegenden
Wechselwirkungen mathematisch zu beschreiben, um ein grobes Modell
für Prognosen zu entwickeln.
