Woche der Modellierung mit Mathematik im Schloss Seggau,
6. - 11. März 2005
Projekt: Physiologie
Aufgabe ist es, an Hand eines einfachen mathematischen Modelles für das Herzkreislaufsystem die Auswirkungen verschiedener Regelungsmöglichkeiten (wie etwa Erhöhung der Herzfrequenz) zu erforschen und wechselseitig zu vergleichen.
Projekt: Biomechanik
Menschliche Bewegungen verlaufen bei geringerer Gravitation anders als auf der Erde. Ein Astronaut springt am Mond klarerweise höher als auf der Erde. Aber um wieviel springt er höher? Ist die Verbesserung der Sprunghöhe für alle Leute gleich, oder hängt sie von den individuellen Eigenschaften der Personen ab? Kann es also sein, dass manche Menschen (Muskel)eigenschaften besitzen, die für einen Sprung auf dem Mond vorteilhafter sind als für einen Sprung auf der Erde? Was passiert, wenn man einem Astronauten soviel zusätzliches Gewicht auflädt, dass er am Mond gleich schwer ist wie ohne Zusatzgewicht auf der Erde? Springt er dann auch noch höher am Mond oder bleibt die Sprunghöhe gleich? Oder springt er vielleicht weniger hoch, weil ja mehr Masse zu beschleunigen ist? Was muss man an einem Film von einem Erdsprung ändern, um einen Sprung am Mond vorzutäuschen? Gesucht ist ein mathematisches Modell für die Bewegung des Schwerpunktes eines Astronauten bei einem senkrechten Sprung.
Projekt: Mechanik
Betreuer: Prof. Wolfgang Desch
Bewegung von Schüttgut in einer rotierenden Trommel
Stellen Sie sich einen Behälter in Form einer waagrecht liegenden Röhre vor. Darin befindet sich Schüttgut (zum Beispiel Sand, Kies, Kaffeebohnen, ...), sodass der Behälter etwa zum Drittel seines Volumens gefüllt ist. Solange der Behälter still steht, bildet das Schüttgut darin eine waagrechte Oberfläche. Nun beginnt sich die Röhre langsam um ihre Längsachse zu drehen. Das Schüttgut bewegt sich zunächst mit, und die Oberfläche wird daher geneigt. Wenn die Neigung zu steil wird, beginnt das Schüttgut die Oberfläche entlang abzurutschen. Die Röhre dreht sich gleichmäßig weiter, und im Schüttgut stellt sich folgende Bewegung ein: An der Röhrenwand wird es mitgenommen und nach oben getragen. Entlang der schrägen Oberfläche innerhalb der Röhre rutscht es wieder nach unten.
Aufgabenstellung ist, die Bewegung des Schüttgutes möglichst gut zu beschreiben. Beispielsweise ergeben sich folgende Fragestellungen: Wie steil ist die Oberfläche? Wie schnell rutscht der Sand die Oberfläche entlang ab? Von welchen Eigenschaften des Schüttgutes hängt der Winkel ab? Besteht ein Unterschied, ob Glasmurmeln oder Mehl in der Röhre sind? Welche Rolle spielt die Drehgeschwindigkeit des Behälters?
Wenn wir auch keine Messeinrichtungen haben, um Experimente durchzuführen, lassen sich die Ergebnisse der Modellierung doch zumindest nach Augenmass einfach verifizieren: Füllen Sie ein zylindrisches Marmeladenglas mit Reis, Kaffeebohnen oder ähnlichem, und drehen Sie es um die Längsachse. Was geschieht?
Projekt: Ökologie
Betreuer: Prof. Georg Propst
Nachhaltige Bewirtschaftung nachwachsender Ressourcen.
Wir alle kennen alarmierende Berichte über den Raubbau an Ressourcen. Zum Beispiel ist die Existenz der Spezies Walfisch ernsthaft bedroht. Die Rodung großer Waldbestände könnte zum Kollaps riesiger Ökosysteme führen.
In diesem Projekt wird untersucht, was einfache mathematische Modelle von Ernte-Strategien in nachwachsenden Beständen zu deren nachhaltiger Bewirtschaftung beitragen können. Nachhaltigkeit bedeutet dabei, trotz Entnahme den Bestand der Ressource nicht zu gefährden. Gleichzeitig sollte nicht unnotwendigerweise auf Erträge verzichtet werden.
Welche Strategien sind riskant, welche sind stabil? Was geschieht in altersstrukturierten Populationen oder in Räuber-Beute Modellen? Können - im Prinzip - mathematische Modelle den Zusammenbruch der Ressourcen rechtzeitig voraussagen oder die Wahl der Ernte-Strategie beeinflussen?
Der Gegenstand dieses Projektes kann mit einer breiten Palette verschiedener Ansätze angegangen werden (zeit-diskret oder kontinuierlich, graphisch, numerisch, analytisch, ...). Die Wahl der Fragestellungen und Methoden ist von der Arbeitsgruppe beeinflussbar und wird sich an den Interessen und Vorlieben der Teilnehmer orientieren.
Projekt: Sozialwissenschaft
Betreuer: Prof. Stephen Keeling
Wie können die demokratische Freiheit und der Reichtum eines Landes gleichmäßig verteilt werden?
Ein Weg in die Modellierung heisst von oben nach unten, und er hat mit der Beschreibung von makroskopischen oder durchschnittlichen Eigenschaften eines Systems zu tun. Ein anderer Weg in die Modellierung heisst von unten nach oben. Bei dieser Methode werden die grundlegenden oder mikroskopischen Eigenschaften eines Systems aufgestellt, und die makroskopische Komplexität des Systems entsteht indirekt durch Emergenz.
Komplexität wird durch Simulierung immer mehr mathematisch erforscht. In dieser Problemstellung wird Multi-Agenten Simulation verwendet, um soziales Verhalten von interagierenden Individuen zu untersuchen. Also hat das Projekt teilweise mit Programmierung zu tun. Das verwendete Werkzeug heisst Netlogo, und es hat eine Lisp-ähnliche eigene Programmiersprache.
Es wird empfohlen, dass das Projekt mit einer bekannten Multi-Agenten Simulation beginnt, die Sugarscape genannt wird. Eine eigene Simulation lässt sich leicht davon entwickeln. Mit Sugarscape bekommt man schon Hinweise, wie das Reichtum sich verteilt. Andererseits gibt es in Sugarscape keinen Tausch zwischen Agenten und fast keine Entscheidungen, die von den Agenten getroffen werden sollen. Vom Tauschen erwartet man eine emergierende Wirtschaft. Von Gruppenentscheidungen erwartet man eine emergierende Regierung. Anhand eines solchen Modelles werden Parameter gesucht, die zur gleichmäßigen Verteilung des Reichtums und der Entscheidungskraft führen.
