5.5.2 Die parallele ILU-Faktorisierung

Die erste Idee zur Parallelisierung der ILU ist die einfache Übertragung von Algorithmus 5.12 auf eine akkumulierte Matrix  ${\ensuremath{\color{red} \mathfrak{K} } }$. Natürlicherweise sind  ${\ensuremath{\color{red} \mathfrak{L} } }$ und  ebenfalls akkumuliert. Jedoch müssen nun wegen (4.9) und (4.10) die Forderungen 3a und 3b an die Vernetzung aus Abschnitt 4.3.1 erfüllt sein.
 
Da die redundant gespeicherten Matrizen ${\ensuremath{\color{red} \mathfrak{K} } }_V$, ${\ensuremath{\color{red} \mathfrak{K} } }_E$, ${\ensuremath{\color{red} \mathfrak{K} } }_E$, ${\ensuremath{\color{red} \mathfrak{K} } }_{EV}$ und  ${\ensuremath{\color{red} \mathfrak{K} } }_{VE}$ nach der Akkumulation bis zur Zerlegung nicht mehr modifiziert werden, kann die Akkumulation vor der Faktorisierung ausgeführt werden.
In 3D kommt noch ein Block mit den Faces ''$F$'' hinzu. Die entsprechende Faktorisierung ist analog, jedoch müssen an die Vernetzung weitere Forderungen gestellt werden.

Betrachtet man den Auflösungsschritt $\underline{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{w} } }} = {\ensuremath{\color{red... ...} \mathfrak{L} } }^{-1} \cdot \underline{{\ensuremath{\color{green} {\sf r}} }}$ näher und trägt den mit akkumulierten Matrizen erlaubten Matrix-Vektor-Multiplikationen (4.9) und (4.10) Rechnung, so sieht man aus Gleichung (4.13a), daß 3 Vektortypumwandlungen auftreten müssen.
 
Die Diagonalmatrix $R$ mit der Anzahl der am Knoten anliegenden Teilgebiete wurde in (4.4) definiert.

Verbesserung : Der Nachteil von Algorithmus 5.15 besteht vor allem darin, daß jeweils gerade ein anderer als der gegebene Vektortyp benötigt wird. Dadurch sind 3 Vektortypumwandlungen mit 2 Akkumulationsschritten notwendig. Dies bedeutet in einem Iterationsverfahren mit der $ILU$ als Vorkonditionierer doppelten Kommunikationsaufwand gegenüber dem $\omega$-Jacobi-Verfahren.

$\Longrightarrow$ Ein Auflösungsschritt $\underline{{\ensuremath{\color{red} \mathfrak{w} } }} = {\ensuremath{\color{red... ...} \mathfrak{U} } }^{-1} \cdot \underline{{\ensuremath{\color{green} {\sf r}} }}$ würde laut (4.12a) nur eine Vektortypumwandlung mit einer Akkumulation benötigen.

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