5.4.1 Das serielle Verfahren

 
Der wesentliche algorithmische Unterschied zwischen dem $\omega$-Jacobi Verfahren (Alg. 5.5) und der Gauß-Seidel Iteration besteht im ständigen Update des Residuums zur Bestimmung der Iterierten $\underline{u}^{k}$, dadurch ist die Konvergenzgeschwindigkeit gegenüber dem $\omega$-Jacobi Verfahren höher. Diesen Schritt betrachten wir in Komponentenschreibweise :

$$u_i^k \;\;:=\;\; u_i^{k-1} + K_{i,i}^{-1} \left( f_i - \s... ...i,j} u_j^k - \sum\limits_{j=i}^{n} K_{i,j} u_j^{k-1} \right)$$ (5.2)

Die Iterierte $u_i^k$ Gleichung (5.2) hängt jetzt von der Numerierung des Vektorkomponenten, d.h. ihrer Abarbeitungsreihenfolge ab. Damit ist das Gauß-Seidel-Verfahren numerierungsabhängig.