Woche der Modellierung mit Mathematik im JUFA Pöllau
7. - 13. Februar 2015
Projekt: Inverse Probleme
Betreuer: Michael Kniely, BSc BSc MSc
Shape From Shading --- Vom Schattenbild zur Oberfläche
Inverse Probleme tauchen in den verschiedensten Bereichen der angewandten Mathematik auf. Typischerweise hat man es dabei mit einem mathematischen Modell zu tun, das eine Menge von Input-Parametern X auf eine Menge von Output-Parametern Y abbildet. Die Aufgabe bei einem inversen Problem ist es von gegebenen Output-Parametern Y auf die verursachenden Input-Parameter X zu schließen.
Ein Beispiel für ein inverses Problem ist das Shape-From-Shading-Problem, bei dem das Schattenbild (Y) einer Oberfläche gegeben ist und die Oberfläche selbst (X) gesucht ist. Im Allgemeinen ist es natürlich nicht möglich X einfach mit einer Formel aus Y zu berechnen, sodass man auf numerische Näherungs-lösungen angewiesen ist. In diesem Projekt werden wir triangulierte Oberflächen betrachten, die aus einer bestimmten Zahl an Dreiecken und Knotenpunkten bestehen. In einem ersten Schritt werden wir das Shape-From-Shading-Problem als ein Minimierungsproblem für eine reelle Funktion formulieren. Mittels klassischer Optimierungsverfahren (Verfahren des steilsten Abstiegs) werden wir versuchen solche Positionen für die Knotenpunkte zu finden, sodass die triangulierte Oberfläche möglichst gut zum gegebenen Schattenbild passt.
Abgesehen von relativ einfachen bzw. synthetisch generierten Oberflächen kann man schließlich versuchen komlexere bzw. alltägliche Strukturen anhand ihres Schattenbildes zu rekonstruieren. Falls am Ende der Woche noch Zeit bleibt, können wir den Algorithmus auch noch etwas verbessern --- indem etwa verschiedene Gittergrößen für den Rekonstruktionsprozess verwendet werden. Da die erhaltene Oberfläche nur eine Näherungslösung darstellt, kann man auch versuchen mittels passender Fehlerfunktionale die Abweichung zur tatsächlichen Oberfläche bzw. die Qualität der Rekonstruktion zu quantifizieren.
Projekt: Ingenieurtechnik
Über die letzten Jahre ist der Segway Personal Transporter zu einem
immer beliebteren Fortbewegungsmittel aufgestiegen. Gerade im
Freizeitbereich, zum Beispiel bei touristischen Stadtführungen, erfährt
er besondere Beachtung. Ganz vereinfacht dargestellt, funktioniert die
Steuerung eines Segway über Körperbewegungen der beförderten Person.
Aber wieso fallen wir dabei eigentlich nicht um? Und was hat das mit
Einradfahren und Zirkusakrobatik zu tun?
Mit diesen und vielen ähnlichen Fragen beschäftigt sich die
Ingenieurtechnik, genauer gesagt, die Regelungstechnik. Unter dem
Stichwort 'inverses Pendel' lassen sich viele der vorigen
Fragestellungen zusammenfassen und bilden dabei ein grundlegendes
Problem der mathematischen Systemtheorie. In diesem Projekt wollen wir
die Physik des Segway näher untersuchen. Dafür müssen wir zunächst ein
(vereinfachtes) Modell erstellen, dass es uns erlaubt, die Dynamik des
Systems am Computer zu simulieren. Anschließend beschäftigen wir uns mit
sogenannten (in-)stabilen Ruhelagen und versuchen Wege zu finden, diese
Ruhelagen automatisiert anzusteuern. Den zentralen mathematischen
Baustein bilden hierbei Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
Projekt: Computergrafik
Betreuer: Dr. Laurent Pfeiffer
Voraussage einer Beobachtung durch Strahlenverfolgung
Seit 50 Jahren befasst sich die Computergraphik, ein Teilgebiet zwischen
Informatik und angewandter Mathematik, mit der Erzeugung von immer
realistischeren Bildern, zum Beispiel im Dienste der Kino- und
Videospielindustrie. Der Strahlenverfolgungs-Algorithmus ist eines der ersten
entwickelten Verfahren für Bildsynthese; es erlaubt Gegenstände
darzustellen, die mathematisch beschrieben werden können. Obwohl es viele
Berechnungen benötigt, ist es relativ einfach zu programmieren, da es auf
grundlegenden Prinzipien der Optik basiert.
In diesem Projekt wollen wir den Strahlenverfolgungs-Algorithmus studieren und
uns dabei auch mit den folgenden Fragen beschäftigen: wie kann man eine
beliebiege Oberfläche mit mathematischen Werkzeugen beschreiben? Wie kann
man ein besonderes Material, wie Glas, Wasser, oder Holz modellieren, wie kann
man eine glänzende, reflektierende, oder durchsichtige Oberfläche
modellieren? Schließlich werden wir versuchen, dieses Verfahren zu
beschleunigen.
Projekt: Dynamische Systeme
Dynamische Systeme modellieren zeitabhängige Prozesse, z.B. das Wachstum von Bakterien oder die Entwicklung des Weltklimas. Solche Prozesse können sehr geordnet ablaufen oder ohne erkennbare Ordnung. Wie lassen sich scheinbar chaotische Prozesse mathematisch beschreiben? Die überraschende Antwort lautet, dass dies mit recht einfachen Mitteln möglich ist.
Wir werden verschiedene dynamische Systeme untersuchen und mit Hilfe des Computers anschaulich darstellen. Dabei stoßen wir auf komplizierte geometrische Strukturen, die Fraktale genannt werden. Das Hauptziel dieses Projekts besteht darin, eines der berühmtesten und schönsten Fraktale zu untersuchen und am Computer zu visualisieren.
Auf dem Weg dorthin begegnen wir ein paar sehr wichtigen mathematischen Ideen. Jede dieser Ideen bietet die Möglichkeit zu einer Vertiefung, wenn dies von den Projektteilnehmern gewünscht ist. Beispielsweise könnten wir uns mit der Kreiszahl π beschäftigen.
Projekt: Sozialwissenschaften
Wer mit dem Auto fährt, kennt Staus, auf der Autobahn und in der Stadt.
Manchmal erlebt man einen Stau, ohne einen bestimmten Grund dafür zu
erkennen! Man glaubt, es müsste möglich sein, den Verkehrsfluss besser zu
planen. Bei diesem Projekt hat man die Gelegenheit, diese Intuition zu
testen. Der Verkehrsfluss wird modelliert; beeinflussende Faktoren werden
untersucht, um die wichtigsten zu identifizieren. Anhand dieser
Ergebnisse wird versucht, den Fluss zu steuern und ihn
bezüglich gewisser Kriterien zu optimieren.
