Woche der Modellierung mit Mathematik im Schloss Seggau,
11. - 17. Januar 2009
Projekt: Medizin
Der Bromsulphalein-Test ist ein Leberfunktionstest, bei dem eine Dosis
(5 mg pro kg Körpergewicht) Bromsulphalein intravenös verabreicht
wird. Bromsulphalein ist ein Farbstoff, der in der Leber abgebaut
wird. Die Abbaurate von Bromsulphalein in der Leber ist ein Indikator
für die Leberfunktion. Um diese Abbaurate direkt zu bestimmen,
müßte man die Konzentration von Bromsulphalein im Lebergewebe in
regelmäßigen Abständen (etwa alle drei Minuten unmittelbar
nach Verabreichung und später in größeren Abständen)
messen. Da dies praktisch nicht möglich ist, wird bei der
tatsächlichen Durchführung des Testes die Konzentration von
Bromsulphalein in Blutproben gemessen, die unmittelbar nach
Verabreichung zum Zeitpunkt t=0 und danach 3, 6, 9, 12, 15, 20, 30,
40, 50 bzw. 60 Minuten nach der ersten Probe entnommen werden. Es
stellt sich nun das Problem, wie aus den Konzentrationsmessungen im
Blut auf die Abbaurate von Bromsulphalein in der Leber geschlossen
werden kann. Zur Lösung dieses Problems soll ein einfaches
mathematisches Modell entwickelt werden. An Hand von ``künstlichen''
Messdaten soll gezeigt werden, dass das Modell tatsächlich das
Problem löst.
Projekt: Sportwissenschaft
In vielen Sportarten muss ein Gegenstand in ein Ziel geworfen,
geschossen oder getreten werden. Dabei kommt es weniger auf die Kraft
oder Ausdauer des Sportlers oder der Sportlerin an, sondern auf eine
möglichst exakte Bewegungsausführung.
Eine genaue Wiederholung einer Bewegung ist nie möglich, es kommt
immer zu kleinen Änderungen im Bewegungsablauf. So wird zum Beispiel
bei zwei Freiwürfen im Basketball der Abwurfwinkel immer etwas
unterschiedlich sein, ebenso die Abwurfgeschwindigkeit. Selbst der
Abstand zum Korb ist nicht immer genau gleich groß.
Wie muss eine Bewegung erfolgen, damit kleine Abweichungen trotzdem zu
einem Treffer führen? Bei welcher Bewegungsausführung sind die größten
Abweichungen erlaubt, um noch erfolgreich das Ziel zu treffen?
Ziel dieses Projektes ist es, mathematische Modelle für Bewegungen zu
entwickeln, mit denen die oben erwähnten Fragen beantwortet werden
können, und die Ergebnisse mit realen sportlichen Bewegungen zu
vergleichen.
Projekt: Geometrische Optik
Betreuer: Prof. Peter Schöpf
Verfolgung des Strahlenganges (ray tracing) in der
geometrischen Optik
Die Kenntnis des Strahlenganges ist entscheidend für den Bau von
optischen Systemen wie Spiegeln, Spegelteleskopen, Glasfaserkabeln,
Mikroskopen, Fernrohren, Kameras, Brillen und Kontaktlinsen.
Beim Entwurf von Autokarosserien, bei Computerspielen und
computererzeugten Filmen(3D-Computergraphik) müssen Sichtbarkeit,
Schatten, Helligkeiten und Reflexe (bei bewegten Objekten in Echtzeit)
berechnet werden. Auch dabei ist die Verfolgung von Strahlenwegen eine
zentrale Aufgabe.
Mathematisch gesehen müssen Schnittpunktformeln von Strahlen mit
Flächen und Strahlenknickformeln für Reflexion und Brechung an
Grenzflächen von Medien mit verschiedenen Brechzahlen erarbeitet
werden. Dies erfordert nur das Reflexionsgesetz, das Brechungsgesetz
von Snellius, elementarste Geometrie und die Verwendung des
Skalarproduktes von Vektoren.
Hat man ein System von Linsen, die von sphärischen Flächen begrenzt
werden, deren Mittelpunkte alle auf einer Geraden - der optischen
Achse - liegen und betrachtet man nur meridionale achsennahe Strahlen,
so kann man deren Verlauf näherungsweise mit mit 2x2-Matrizen
berechnen. Diese Methode wird von /Nussbaum/ in einem Vorschlag zu
einer modernen didaktischen Behandlung der Gaußschen Optik (lineare
Näherung) besonders empfohlen. Ein schönes Beispiel für die
Zweckmäßigkeit der Matrizenrechnung in einem angewandten Problem, das
ohne viel Physik und Mathematik verstanden werden kann.
Die Aufstellung eines einfachen Computerprogramms (mit Mathlab oder
Mathematica) zur raschen Ausführung der vielen Rechenoperationen wäre
zum Beispiel ein Ziel in dieser Modellwoche.
Projekt: Spielstrategien
Betreuer: Prof. Wolfgang Ring
Modellierung taktisch günstiger Laufwege beim Fußball
Manche Spielsituationen treten im Laufe eines Fußballspiels immer
wieder auf. Ein Stürmer steht einem Verteidiger gegenüber, zwei
Stürmer versuchen an drei Verteidigern vorbeizukommen etc. Der
Verteidiger nimmt die Position und momentane Laufrichtung des Stürmers
wahr, er weiß natürlich, wo er selbst steht und muss nun entscheiden,
welchen Schritt (in welche Richung, mit welcher Geschwindigkeit) er
als nächstes macht, um den Stürmer von einer günstigen Schussposition
fernzuhalten bzw. um ihm auf die Pelle zu rücken und den Ball
abzunehmen. Dem Stürmer geht es nicht anders. Auch er muss
entscheiden, wie sein nächster Schritt ausfällt, nur dass sein Ziel
natürlich dem des Verteidigers entgegen gesetzt ist. Er möchte nahe
zum Tor mit einer freien Schussmöglichkeit auf das Tor. Antworten auf
diese Fragen nach dem richtigen taktischen Verhalten findet man
einerseits in den Lehrbüchern über Fußball, andererseits könnten
mathematische Überlegungen herangezogen werden, um solche Spielabläufe
zu simulieren oder - im besten Fall - um optimale Strategien zu
finden. Man kann mit einer einfachen Eins-zu-Eins Situation ohne Ball
beginnen und das Modell schrittweise erweitern: Mehrere Verteidiger
bzw. Angreifer, miteinbeziehen des Balles, Beschränkungen an die
Beweglichkeit der Spieler etc. Das eigentliche Ziel der Modellierung
ist es jedoch, ein vollig neues FIFA 09 Computerspiel zu schreiben um
damit jede Menge Kohle zu verdienen.
Projekt: Forensische Wissenschaft
Betreuer: Prof. Stephen Keeling
Simulation des Einsturzes eines WTC-Turms
Der Einsturz der World Trade Center Türme ist von der amerikanischen
Regierung durch Feuer und einen pfannkuchenartigen Kollaps der
Stockwerke offiziell erklärt worden. Jedoch gibt es gemesse Daten
über den Einsturz, die der offiziellen Erklärung angeblich
widersprechen. Das Ziel des Projekts ist, erstens den Einsturz eines
WTC-Turms möglichst einfach zu simulieren. Dann soll mit einem
Simulationscode entschieden werden, ob die offizielle Erklärung
plausibel ist, und wenn nicht soll eine Hypothese formuliert werden
die besser mit den Daten übereinstimmt.
