1.3.6 Iterative Löser

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1.3.6 Iterative Löser

Wir betrachten das Stokesproblem in schwacher Formulierung (Variationsformulierung).

Finde ( $\bf u$ , p) $\in$ $\bf X$ x $\bf M$ : = $\bf H^{1}_{}$ ( $\Omega$ ) x L₂( $\Omega$ ) sodaß

$\displaystyle \int_{\Omega}^{}$ $\displaystyle \nabla$ $\displaystyle \bf u$ $\displaystyle \nabla$ $\displaystyle \bf v$ dx - $\displaystyle \int_{\Omega}^{}$ $\displaystyle \nabla$ ^. $\displaystyle \bf v$ p dx	=	$\displaystyle \int_{\Omega}^{}$ $\displaystyle \bf f$ $\displaystyle \bf v$ dx $\displaystyle \forall$ $\displaystyle \bf v$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle \bf X$
$\displaystyle \int_{\Omega}^{}$ $\displaystyle \nabla$ ^. $\displaystyle \bf u$ q dx	=	0 $\displaystyle \forall$ q $\displaystyle \in$ $\displaystyle \bf M$ ,

in $\Omega$ : = (0, 1)² gilt, mit den Randbedingungen $\bf u$ = (1, 0)^T für y = 1 und $\bf u$ = 0 sonst auf $\partial$ $\Omega$ . Die ( $\bf H^{1}_{}$ ( $\Omega$ )) nichtkonformen P₁-P₀ Elemente sind eine stabile Diskretisierung dieses Problems. Damit erhalten wir das Sattelpunktproblem (Formel (7.7) auf Seite 134)

$\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{cc} A & B \\ B^T & 0 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{cc} A & B \\ B^T & 0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{cc} A & B \\ B^T & 0 \end{array}}\right)$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf u} \\ p \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} {\bf u} \\ p \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf u} \\ p \end{array}}\right)$ = $\displaystyle \left(\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf f }\\ 0 \end{array}}\right.$ $\displaystyle \begin{array}{c} {\bf f }\\ 0 \end{array}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ \begin{array}{c} {\bf f }\\ 0 \end{array}}\right)$ .

Mit gegebenen Vorkonditionierern $\hat{A}$ für A und $\hat{C}$ für - B^TA^-1B kann das Sattelpunktproblem mittels des vorkonditionierten Arrow-Hurwicz Algorithmus (S. 135) gelöst werden.

$\displaystyle \hat{A}$ ( $\displaystyle \bf u^{k+1}_{}$ - $\displaystyle \bf u^{k}_{}$ )	=	$\displaystyle \bf f$ - A $\displaystyle \bf u^{k}_{}$ - Bp^k
$\displaystyle \hat{C}$ (p^{k + 1} - p^k)	=	B^T $\displaystyle \bf u^{k+1}_{}$

Eine serielle Programmversion ist in seqc ( seqf) zu finden. Sie benutzt cg-Iterationen mit Diagonalskalierung für $\hat{A}$ und $\hat{C}$ : = M, wobei M die Massenmatrix (Gramsche Matrix) bzgl. des Druckes p darstellt. Die Matrizen A, B, $\hat{C}$ werden in

GetGradMatrix(nx, ny, 0, 0, A, id, ik)

GetDivMatrix(nx, ny, 0, 1, B, idb, ikb)

GetMassMatrix(nx, ny, 1, 1, M)

generiert. Die Diagonale von A erhält man aus

AccuDiag(nx, ny, sk, id, d)

Der Vektor der rechten Seite wird mit

GetRhs(nx, ny, f, 0, 1, 0, 1) , GetRhsPressure(nx, ny, g, 0, 1, 0, 1)

initialisiert. Randbedingungen werden mittels

DirichletBc(nx, ny, A, id, ik, f, u)

eingebaut und die Anfangslösung wird mit

SetU(nx, ny, u, 0, 1, 0, 1)

initialisiert. Die Operationen w : = w + $\alpha$ Au, p : = p + $\alpha$ B^Tu, u : = u + $\alpha$ Bp sind implementiert in

CrsMult(1, nu, w, u, id, ik, A, $\alpha$ )

BTCrsMult(np, nu, p, u, idb, ikb, B , $\alpha$ )

BCrsMult(np, nu, p, u, idb, ikb, B, $\alpha$ ) .

$\fbox {{\large E14}}$: Leite aus dem sequentiellen Code eine parallele Version ab!

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Gundolf Haase
1999-10-04