Karl-Franzens Universität Graz
Institut für Mathematik
Heinrichstr. 36, A-8010 Graz, Österreich

Beschreibung der Lehrveranstaltung

Grundlagen physikalischer Prozesse

Bernd Thaller

Status der Lehrveranstaltung / Status of the course in the study program:

Pflichtfach im Diplomstudium, Studienzweig NuM^2 (neuer Studienplan)
Studienzweig Allgemeine Mathematik: Vertiefungspakete Angewandte Mathematik, Funktionalanalysis, Optimierung, Numerik
Alter Studienplan Diplom: Wahlfach aus den Anwendungsgebieten

Beschreibung / Course contents:

Einführung in die Grundlagen physikalischer Modellbildung. Physikalische Begriffe, die bei der Aufstellung von Gleichungen eine Rolle spielen. Die wichtigsten Gleichungen der Mathematischen Physik und ihre Herleitung. Betonung der gemeinsamen Grundbegriffe, Herleitung von Gleichungen aus lokalen Bilanzen und Gleichgewichtsbedingungen.

Kurze Diskussion physikalischer Grundbegriffe wie Kraft, Arbeit, potentielle Energie.
Einfache mechanische Systeme. Durch Federkräfte verbundene Massen, Gleichgewichtslage. Steifheits-Matrix.
Lineare Systeme und Minimum einer quadratischen Form. (Gleichgewichtslage = Minimum der potentiellen Energie).
Lineare Widerstandsnetzwerke in der Elektrotechnik. Kirchhoff'sche Gesetze. Geometrie von Netzwerken. Graphen und Knoten-Kanten Inzidenzmatrix.
Unterschiedliche physikalische Systeme führen auf ähnliche mathematische Modelle. Elektrische Netzwerke als Minimierungs-Aufgabe mit Zwangsbedingungen. Mechanische Fachwerke.

Lagrange Systeme in der Mechanik. Minimierungsprobleme und Variationsrechnung. Mechanische Schwingungen, Eigenmoden, Resonanz.

Probleme aus der Elastizität. Dehnung eines Balkens in einer Dimension. Sturm-Liouville-Probleme. Selbstadjungierte Randbedingungen.

Stationäre Strömungen in zwei Dimensiionen. Anwendungen der Vektoranalysis. Wirbelfreie und quellenfreie Strömungen. Laplace und Poisson-Gleichung. Zusammenhang mit Elastizität (Membranbiegung), Wärmelehre, und Potentialtheorie.

Eindimensionale Erhaltungssätze. Die Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung). Euler'sche Gleichungen der Gasdynamik (Massen-, Impuls-, und Energieerhaltung). Charakteristiken und Schockwellen in einfachen Beispielen. Verkehrsfluß.

Lehrziel / Course objective:

Fähigkeit zum Aufstellen von Gleichungen
Fähigkeit zur Interpretation von Gleichungen
Erkennung von Strukturverwandtschaften bei Problemen mit unterschiedlichen Anwendungen

Lehrmethode / Teaching method:

Frontalvorlesung und ein einstündiges Proseminar, in dem Beispiele zur Illustration des Stoffes erarbeitet werden sollen.

Vorkenntnisse / Prerequisites:

Analysis I und II, Lineare Algebra I und II

geeignet für / suitable for

3. Semester

Lehrmittel / Teaching aids:

Vieles am Beginn der Vorlesung entstand auf Grundlage des Buches
Gilbert Strang: Introduction to Applied Mathematics (Wellesley-Cambridge-Press,1986).

Erhaltungssätze: LeVeque: Numerical Methods for Conservation Laws (Birkhäuser 1992).

Ergänzung: Fowkes/Mahony: Einführung in die Mathematische Modellbildung (Spektrum 1994).

Prüfungsmodus / Examination method:

VL: mündlich, PS: schriflich und Mitarbeit

Anmeldung zur Lehrveranstaltung / Registration of course:

VL: nicht erforderlich. PS: bei der Vorbesprechung