Karl-Franzens Universität Graz
Institut für Mathematik
Heinrichstr. 36, A-8010 Graz, Österreich

Beschreibung der Lehrveranstaltung

Differentialgleichungen

Bernd Thaller

Status der Lehrveranstaltung / Status of the course in the study program:

Wahlfach

Beschreibung / Course contents:

Hier sind einige Stichworte zum Inhalt, die präzise Reihenfolge steht aber noch nicht fest.

• Was sind Differentialgleichungen? Allgemeines, Gleichungen erster Ordnung. Beispiel zum exponentiellen Wachstum, Beispiel einer nicht analytisch lösbaren Gleichung.
• Einführung in die qualitative Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung: Richtungsfelder, Isoklinen. Einführung der Begriffe oberer, unterer Zaun, Trichter und Antitrichter und elementare Resultate (Trichtersatz, Antitrichtersatz mit Eindeutigkeit bei positiver Dispersion). Qualitative Diskussion des Verhaltens von Lösungen anhand einiger (nicht exakt lösbarer) Beispiele. Asymptotisches Verhalten, Entwicklung von Singularitäten in endlicher Zeit (vertikale Asymptoten). Zäune und Trichter aus Isoklinen, Abschätzungen, und Vergleichs-Differentialgleichungen
• Elementar lösbare Beispiele
• Numerische Approximation (Runge-Kutta)
• Grundlagen dynamischer Systeme
• Iteration, Existenz und Eindeutigkeitssatz
• Lineare Differentialgleichungen und Systeme
• Rand- und Eigenwertaufgaben
• Green'sche Funktion
• Elemente der Stabilitätstheorie

Lehrziel / Course objective:

Verständnis der Grundlagen und wichtigsten Anwendungen gewöhnlicher Differentialgleichungen.
Es wird besonderes Gewicht auf die Vermittlung qualitativer Methoden gelegt.
Überblick über die Grundlagen dynamischer Systeme.
Vollständiger Überblick über Konzepte und Techniken zur Lösung linearer Differentialgleichungssysteme.
Verständnis einiger wichtiger Anwendungen (Physik, technische und biologische Modelle)

Lehrmethode / Teaching method:

Vorlesung mit Übungen.

Vorkenntnisse / Prerequisites:

Lineare Algebra und Analysis.

geeignet für / suitable for

Studierende der Mathematik und Physik ab dem 4. Semester

Lehrmittel / Teaching aids:

Lehrbücher und Unterlagen zu den einzelnen Themengebieten werden bekanntgegeben. Einige empfehlenswerte Bücher sind:

• Hubbard, West: Differential Equations - A dynamical systems approach, Part I, Springer-Verlag 1991
• Braun - Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag 1992 (4. Auflage) (gibt es auch in Deutsch)
• Walter - Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag 1998 (Erweiterung von: Gewöhnliche Differentialgleichungen, 6. Auflage 1996)
• Jänich - Analysis für Physiker und Ingenieure, Springer Lehrbuch 1995.

  Notebooks mit den in der Vorlesung gezeigten Grafiken.

Prüfungsmodus / Examination method:

mündlich

Anmeldung zur Lehrveranstaltung / Registration of course:

nicht erforderlich