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Humor in der Mathematik - Löwenjagd

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Die folgende Sammlung von Beispielen zeigt einige bedeutsame Anwendungen mathematischer Methoden auf Alltagsprobleme.

WIE FÄNGT MAN LÖWEN IN DER WÜSTE?

Die Inversionsmethode:

Man stellt einen zylindrischen Käfig in die Wüste und unterscheidet die folgenden Fälle:

1) Der Löwe ist bereits im Käfig. Dieser Fall ist trivial.

2) Der Löwe befindet sich außerhalb. In diesem Fall stellt man sich selbst in den Käfig und führt eine Inversion (Spiegelung) an der Wand des Käfigs durch. Durch die Inversion gelangt der Löwe in den Käfig und man selbst gelangt nach draußen. Dabei ist zu beachten, daß man nicht im Zentrum des Käfigs stehen darf, da man sonst im Unendlichen verschwindet.

Abgesehen von der Gefahr bei unsachgemäßer Anwendung ist diese Methode leider auch wenig selektiv. Außer dem Löwen gelangt auch eine Menge Ungeziefer in den Käfig.

Völlig gefahrlos ist hingegen die Anwendung der folgenden Methoden:

Per definitionem

Zuerst definiert man, was es heißt, einen Löwen gefangen zu haben.
Definition: Man hat einen Löwen gefangen, wenn er durch ein Gitter von einem getrennt ist.
Dann setzt man sich einfach in einen Käfig und hat laut Definition den Löwen gefangen.

Variante: Man setze sich in einen Käfig und definiere: "Hier ist außen".

Als "Definitionsmethode" wird gelegentlich auch folgendes Verfahren bezeichnet:

Nahe bei uns ist ein Hase. Da er schon tot ist, ist er sicherlich leicht zu fangen. Wir fangen ihn und definieren ihn als Löwen.

Die axiomatische Methode:

Man stelle einen Käfig in die Wüste und führt folgendes Axiomensystem ein:

Axiom 1: Die Menge der Löwen in der Wüste ist nicht leer.
Axiom 2: Wenn Löwen in der Wüste sind, dann ist auch ein Löwe im Käfig.

Mit der allgemeinen Schlußregel
"Ist die Aussage A wahr und gilt 'aus A folgt B', so ist auch B wahr"
beweist man leicht den

Satz: Es ist ein Löwe im Käfig.

Trotz ihrer bestechenden Klarheit finded die axiomatische Methode gerade unter den Praktikern leider nur wenig Anhänger. Denjenigen, die der reinen Mathematik eher skeptisch gegenüberstehen, empfehlen wir die folgende Methode.

Die Bolzano-Weierstraß-Methode:

Wir nehmen an: Ein Löwe ist in der Wüste. Wir halbieren die Wüste durch einen Zaun in west-östliche Richtung. Dann ist der Löwe entweder in der nördlichen oder der südlichen Hälfte. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, der Löwe sei in der nördlichen Hälfte. Dann halbieren wir die nördliche Hälfte durch einen Zaun in Nord-Süd Richtung. Der Löwe ist nun entweder westlich oder östlich vom Zaun. Fährt man auf diese Weise mit dem Halbieren fort, strebt der Flächeninhalt der Wüstenteile gegen Null. Schließlich wird der Löwe von einem beliebig kurzen Zaun eingesperrt.

Wegen des insgesamt ziemlich hohen Materialaufwandes wird die Bolzano-Weierstraß-Methode aber nur selten zum Löwenfang eingesetzt. Der Nachteil der folgenden Methode liegt hingegen im zu hohen Abstraktionsgrad.

Die Methode mit dem Auswahlaxiom:

Die Punkte der Wüste lassen sich wohlordnen. Ausgehend vom kleinsten Element erwischt man den Löwen durch transfinite Induktion.

Auch die folgenden Methoden erfordern mindestens das dritte Semester im Mathematik-Studium.

Die funktionentheoretische Methode nach Cauchy:

Sei f eine löwenwertige meromorphe Funktion, definiert auf einem offenen, die Wüste enthaltenden Gebiet. Der Käfig stehe im Punkt z der Wüste. Dann bilden wir das Cauchy'sche Integral entlang der Kurve, die den Rand der Wüste beschreibt. (Dabei haben wir angenommen, daß der Wüstenrand eine rektifizierbare Jordan-Kurve ist). Der Wert des Integrals ist f(z). Wenn der Absolutwert größer als 1 ist, ist ein Löwe im Käfig.

Zusatzbemerkung: Wenn die Funktion f in jedem Punkt der Wüste analytisch ist, nimmt der Absolutwert das Maximum am Rand der Wüste an. Dort findet man dann die meisten Löwen.

Die Methode nach Peano:

Mit Standardmethoden konstruiere man eine stetige Kurve, die durch jeden Punkt der Wüste geht. Wie von Hilbert bemerkt, läßt sich so eine Kurve in beliebig kurzer Zeit durchlaufen. Mit einem Speer bewaffnet, durchlaufe man die Kurve in kürzerer Zeit, als der Löwe braucht, um seine eigene Körperlänge zurückzulegen.

Die funktionalanalytische Methode:

Die Wüste X ist ein separabler Raum. Es existiert daher eine abzählbare dichte Teilmenge Y. Man wähle eine Folge in Y, die gegen den Löwen konvergiert. Mit einem Käfig auf dem Rücken springe man sodann von Punkt zu Punkt der Folge. Nach endlich vielen Schritten nähert man sich dem Löwen beliebig genau und kann den Käfig leicht über den Löwen stülpen.

Das Kompaktheitsargument:

Wir schließen die Wüste ab und machen sie so zu einer kompakten Teilmenge des zweidimensionalen Raumes. Jede Überdeckung der Wüste mit offenen Käfigen, enthält also eine endliche Überdeckung. Es genügt also eine endliche Anzahl von Käfigen und in mindestens einem davon befindet sich der Löwe. Allerdings ist Vorsicht geboten, wenn man sich einem offenen Käfig mit einem Löwen darin nähert!

Achtung: Bei den folgenden Methoden könnte der Löwe Schaden erleiden. Sie werden daher vom Tierschutzverein abgelehnt.

Die mengentheoretische Methode:

Man betrachte die Menge aller Teilmengen der Wüste, die den Löwen enthalten und bilde ihren Durchschnitt. Dieser enthält als einziges Element den Löwen. (Anm.: Der Durchschnitt gefährdet den Löwen).

Die topologische Methode:

Der Löwe ist topologisch gesehen ein Torus. Man transportiere die Wüste in den vierdimensionalen Raum. Beim Rücktransport kann man durch eine stetige Deformation erreichen, daß der Löwe verknotet ist. Dann ist er hilflos. Das Fangen eines hilflosen Löwen wird dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.

Die Projektionsmethode:

Die Wüste werde ohne Beschränkung der Allgemeinheit als Ebene angenommen. Man projiziere die Wüste auf eine Gerade durch den Käfig und die Gerade auf einen Punkt im Käfig. Damit gelangt der Löwe in den Käfig.

Diese Methode ist - ebenso wie die folgende - besonders materialsparend, da der Käfig beliebig klein gewählt werden kann.

Die Banach'sche Fixpunktmethode:

Sei f eine kontrahierende Abbildung der Wüste in sich. So eine Abbildung hat einen Fixpunkt x. Auf diesen stelle man den Käfig. Durch fortlaufende Iteration der Abbildung f wird die Wüste auf den Fixpunkt zusammengezogen. So landet auch der Löwe im Käfig.

Die vorangegangenen Methoden deformieren den Löwen bis zur Unkenntlichkeit. Viel tierfreundlicher und auch in Begleitung von Kindern anwendbar ist hingegen die folgende Methode:

Die didaktische Methode:

Man elementarisiere den Löwen zu einer Katze und fange ihn mit einer Schale Milch.

 


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