Ziege-Weide Aufgabe
Problemstellung und Loseung, siehe auch andere Loseungsmoeglichkeiten
Das symbolischen Paket von Matlab wird benutzt so weit es geht und zum Schluss muss numerisch geloest werden.
Contents
Variablen
symbolisch (gesuchte Groessen)
clc; clear all; %clf; % syms l real positive; l = sym('l','positive'); % Leinenlaenge % syms x real positive; x = sym('x','positive'); % x-wert des Schnittpunktes Wiesenkreis mit Leinenkreis % gegebene Groessen, hier als Zahlenwert R = 10; % Wiesenradius assumeAlso(l<2*R);
Die beiden Kurven (symbolisch)
yR = R - sqrt(R^2-x^2); yL = sqrt(l^2-x^2);
bestimme den Schnittpunkt
X = solve(yL - yR, x); % Ausgabe disp('Schnittpunkt der beiden Kurven') pretty(yR); pretty(yL) disp('ist') pretty(X)
Schnittpunkt der beiden Kurven
2
10 - sqrt(100 - x )
2 2
sqrt(l - x )
ist
/ (l - 20) (l + 20) \
l sqrt| - ----------------- |
\ 100 /
-----------------------------
2
unbestimmtes Integrieren
I = int(yL - yR, x);
Einsetzen der Integrationsgrenzen
==> abgegraste Flaeche, symbolische Funktion A(l)
A = 2*int(yL - yR, x, 0,X); % Ausgabe disp('abgegraste Flaeche, Funktion A(l)') pretty(A)
abgegraste Flaeche, Funktion A(l)
3
/ l #1 \ l #1 2
asin| ---- | 100 + ----- - 10 l #1 + l
\ 20 / 40
/ 4 \
| l 2 |
l #1 sqrt| --- - l + 100 |
/ #1 \ \ 400 /
asin| -- | + ---------------------------
\ 2 / 2
where
/ 2 \
| l |
#1 == sqrt| 4 - --- |
\ 100 /
Aufstellen der Gleichung, sodass die halbe Flaeche abgegrast wurde
Hier konvertieren wir eine symbolische Funktion in eine numerische Funktion.
Fs= A - pi*R^2/2; % symbolische Funktion F = matlabFunction(Fs); % numerische Funktion % Grafik fplot(Fs,[0,2*R]) hold on plot([0,2*R],[0 0 ],'b') hold off stringFs=strjoin(arrayfun(@char, Fs, 'uniform', 0)); title('Area = A(L)-pi*R^2/2'); xlabel('L')
Bestimmen der Nullstelle (= Loesung) F(l)==0 mit Startlösung l=R
symbolisches (-> numerisches) Lösen von Fs(l)==0
L = solve(Fs,l) % numerisches Lösen von F(l)==0 mit Startlösung l=R L = fsolve(F,R) % Optimierungspaket: F(l)==0 mit Startlösung l=R options = optimset('Display','iter'); L = fzero(F, R, options) % only with optimization package % options = optimoptions(@fsolve,'Display','iter') % Wie geht das genau? % options = optimoptions(optimoptions(fsolve),'Display','iter')
Warning: Unable to solve symbolically. Returning a numeric solution using <a
href="matlab:web(fullfile(docroot, 'symbolic/vpasolve.html'))">vpasolve</a>.
L =
11.587284730181215178282335099335
Equation solved.
fsolve completed because the vector of function values is near zero
as measured by the value of the function tolerance, and
the problem appears regular as measured by the gradient.
L =
11.5873
Search for an interval around 10 containing a sign change:
Func-count a f(a) b f(b) Procedure
1 10 -34.2427 10 -34.2427 initial interval
3 9.71716 -40.1279 10.2828 -28.2823 search
5 9.6 -42.5422 10.4 -25.7928 search
7 9.43431 -45.932 10.5657 -22.2528 search
9 9.2 -50.6744 10.8 -17.2101 search
11 8.86863 -57.2728 11.1314 -10.0123 search
13 8.4 -66.3711 11.6 0.280816 search
Search for a zero in the interval [8.4, 11.6]:
Func-count x f(x) Procedure
13 11.6 0.280816 initial
14 11.5865 -0.0169335 interpolation
15 11.5873 -2.35373e-06 interpolation
16 11.5873 3.90799e-14 interpolation
17 11.5873 3.90799e-14 interpolation
Zero found in the interval [8.4, 11.6]
L =
11.5873
Grafik
n = 100; % Leinenkurve xxL = linspace(-L, L, n); yyL = subs(subs(yL,l,L),x,xxL); % Wiesenkurve xxR = linspace(-R, R, n); yyR = subs(yR,xxR); plot(xxL,yyL,'r'); hold on; plot(xxR,yyR,'b'); plot(xxR,2*R-yyR); plot(xxL,R); axis equal title(['Weidenradius ',num2str(R),' m und Leinenlaenge ',num2str(L),' m']); legend('Leine','Weide'); % publish('ziege_wiese.m');
