Sommersemester 2012

Master-Seminar: Darstellungstheorie von Köchern

Leitung: K. Baur

Mittwochs 14.00 bis 15.30

Thema des Seminars ist die Darstellungstheorie von Köchern. Wir werden einige Aspekte davon behandeln. Insbesondere ist das Ziel, den Satz von Gabriel (Theorem 5.1.1 in dem Skript von H. Krause) zu beweisen. Das Seminar wird sich hauptsächlich an das Skript von H. Krause halten. Weitere Literatur ist hier angegeben.

Literatur

  • Lecture Notes von Henning Krause: Skript Krause
  • Lecture notes von Michel Brion: Skript Brion, von http://cel.archives-ouvertes.fr/docs/00/44/00/26/PDF/BRION_IFETE2008.pdf
  • Lecture Notes von Bill Crawley-Boevey: Skript C-B
  • C. Ringel: Merkblatt über Kategorien y
  • D. Benson: Representations and cohomology. I. Basic representation theory of finite groups and associative algebras.
  • D. Benson: Representations and cohomology. II. Cohomology of groups and modules.

    • Einteilung

    Die Einteilung der Seminar-Vorträge wird anfangs Semester durchgeführt.

    Zum Seminar gehören drei wichtige Bestandteile:
  • Regelmässige Teilnahme
  • Erfolgreicher Vortrag
  • Schriftliche Ausarbeitung (die Seminararbeit)

    • Vortrag

    Kurz gesagt: viel erklären, Beispiele zeigen. Tafel ist gut, Beamer oder Folien sind auch erlaubt. Oder eine Kombination davon.
    Ausführlicher: Viele Hinweise zu einem gelungenen Seminarvortrag finden sich unter
    http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/seminarvortrag

    Dauer des Vortrags ca. 60 Minuten. Am besten ist es, wenn man den Vortrag vorher richtig übt, in einem Seminarraum zum Beispiel. Das hilft sehr bei der Einschätzung der Zeit, die man braucht.

    Seminararbeit

    Die Seminararbeit ist eine Ausarbeitung des Vortrages. All vorgestellten Resultate mit Beweisen gehören dazu. Ca. 8-15 Seiten sind üblich. Spätestens eine Woche vor dem Vortrag sollte die Seminararbeit geschrieben sein (in LaTeX) und mit mir besprochen werden. Spätestens eine Woche nach dem Vortrag muss die endgültige Version dann bei mir sein (pdf-File reicht).

    Vorbereitungen

    Zum Seminar gehört mindestens ein Treffen mit der Betreuerin vor dem Vortrag, am besten spätestens eine Woche vor dem Vortrag. Am besten dienstags oder mittwochs.
    Den Termin dazu sollte Sie vorher mit mir ausmachen!

    Provisorische Einteilung der Seminar-Vorträge

  • 9.5.: KB
    Definition von Köchern, Konstruktion Wegealgebren, Aussage Satz von Gabriel, Kategorien.
    Erste Definitionen, Beispiele. Definition Dimensionsvektor, Darstellungstyp. Abschnitt 1.1 von [B] (bis 1.1.6). Begriffe: Algebren, freie Algebren, Rechts-/Linksmoduln, projektive Moduln, unzerlegbare Moduln (zB aus [Be]).


  • 23.5.: KB
    (Wegealgebren) Wegealgebra (quiver algebra in [B], path algebra in [CB]). Köcher mit Relationen. Abschnitt 1.2 von [B] (ohne 1.2.2). Äquivalenz Kategorie der Köcherdarstellungen und Modulkategorie der Wegealgebra (Proposition 1.2.2 in [B]). Begriffe: noethersche Ringe, Jacobson-Radikal, Zentrum (zB aus [Be]), einfache Moduln, Kategorien und Funktoren, Äquivalenz von Kategorien


  • 30.5.: K. B.
    (Köcherdarstellungen, Spiegelungsfunktoren) Begriffe: Quelle/Senke, Eulerform, Tits-Form, siehe [CB], Seite 8. Exakte Sequenzen, projektive Auflösungen, etc.


  • 6.6.: S. Ramacher
    Fitting-Lemma, Satz von Krull-Schmidt, spaltende exakte Sequenzen (z.B. nach [Be, Kapitel 1], [ARS])
    Ausarbeitung


  • 27.6.: J. Yehdegho
    (Darstellungstyp-Satz von Gabriel)
    Ausarbeitung